Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \sum \frac{a+1}{a^2+1} \) với điều kiện \( a, b, c > 0 \) và \( ab + bc + ca = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xét biểu thức \( \frac{a+1}{a^2+1} \):
Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:
\[
\frac{a+1}{a^2+1} = \frac{a}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1}
\]
2. Tìm giá trị lớn nhất của \( \frac{a}{a^2+1} \):
Xét hàm số \( f(a) = \frac{a}{a^2+1} \). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số hoặc bất đẳng thức.
Ta có:
\[
f(a) = \frac{a}{a^2+1} = \frac{1}{a + \frac{1}{a}}
\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[
a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2
\]
Do đó:
\[
\frac{1}{a + \frac{1}{a}} \leq \frac{1}{2}
\]
Vậy:
\[
\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{1}{2}
\]
Đẳng thức xảy ra khi \( a = 1 \).
3. Tìm giá trị lớn nhất của \( \frac{1}{a^2+1} \):
Ta có:
\[
\frac{1}{a^2+1} \leq 1
\]
Đẳng thức xảy ra khi \( a = 0 \), nhưng vì \( a > 0 \), nên giá trị lớn nhất của \( \frac{1}{a^2+1} \) gần nhất với 1 khi \( a \) tiến gần đến 0.
4. Tổng hợp lại:
Ta có:
\[
\frac{a+1}{a^2+1} \leq \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
\]
Tương tự cho \( b \) và \( c \):
\[
\frac{b+1}{b^2+1} \leq \frac{3}{2}, \quad \frac{c+1}{c^2+1} \leq \frac{3}{2}
\]
5. Tính tổng:
\[
P = \sum \frac{a+1}{a^2+1} \leq 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}
\]
6. Kiểm tra điều kiện đạt giá trị lớn nhất:
Để đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( a = b = c = 1 \). Thử lại điều kiện \( ab + bc + ca = 3 \):
\[
1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3
\]
Điều kiện thỏa mãn.
Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{9}{2} \), đạt được khi \( a = b = c = 1 \).
Đáp số: \( \frac{9}{2} \)
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5(0 đánh giá)
0
0 bình luận
Bình luận
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.