Tìm các số nguyên dương a, b và số nguyên tố p thỏa: $\left(a^3+b\right)\left(b^3+a\right)=p^3.$

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và kiểm tra các trường hợp khả thi. Điều kiện xác định: \(a > 0\), \(b > 0\), \(p\) là số nguyên tố. Ta có: \[ (a^3 + b)(b^3 + a) = p^3 \] Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p^3\) chỉ có thể được phân tích thành tích của ba thừa số giống nhau là \(p\). Do đó, \(a^3 + b\) và \(b^3 + a\) phải là các thừa số của \(p^3\). Ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: \(a^3 + b = p\) và \(b^3 + a = p^2\) Ta có: \[ a^3 + b = p \] \[ b^3 + a = p^2 \] Thay \(b = p - a^3\) vào phương trình thứ hai: \[ (p - a^3)^3 + a = p^2 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(a\) để tìm \(p\): - Nếu \(a = 1\): \[ b = p - 1^3 = p - 1 \] \[ (p - 1)^3 + 1 = p^2 \] \[ p^3 - 3p^2 + 3p - 1 + 1 = p^2 \] \[ p^3 - 3p^2 + 3p = p^2 \] \[ p^3 - 4p^2 + 3p = 0 \] \[ p(p^2 - 4p + 3) = 0 \] \[ p(p - 1)(p - 3) = 0 \] Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p = 3\). Thử lại: \[ a = 1, b = 3 - 1 = 2 \] \[ (1^3 + 2)(2^3 + 1) = 3 \times 9 = 27 = 3^3 \] Vậy \(a = 1\), \(b = 2\), \(p = 3\) là một nghiệm. 2. Trường hợp 2: \(a^3 + b = p^2\) và \(b^3 + a = p\) Ta có: \[ a^3 + b = p^2 \] \[ b^3 + a = p \] Thay \(b = p - a\) vào phương trình thứ nhất: \[ a^3 + (p - a) = p^2 \] \[ a^3 + p - a = p^2 \] \[ a^3 - a + p = p^2 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(a\) để tìm \(p\): - Nếu \(a = 1\): \[ 1^3 - 1 + p = p^2 \] \[ 1 - 1 + p = p^2 \] \[ p = p^2 \] \[ p(p - 1) = 0 \] Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p = 1\) (loại vì 1 không phải số nguyên tố). Do đó, chỉ có nghiệm duy nhất là \(a = 1\), \(b = 2\), \(p = 3\). Đáp số: \(a = 1\), \(b = 2\), \(p = 3\).