chọn đáp án đúng

Câu 10: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=5$ và $u_5=17$. Ta cần tìm công sai $d$ của cấp số cộng này. Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với công sai $d$. Do đó, ta có: \[ u_5 = u_2 + 3d \] Thay các giá trị đã biết vào phương trình trên: \[ 17 = 5 + 3d \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm $d$: \[ 17 - 5 = 3d \] \[ 12 = 3d \] \[ d = \frac{12}{3} \] \[ d = 4 \] Vậy công sai $d$ của cấp số cộng là 4. Đáp án đúng là: D. 4 Câu 11: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào sai. Khẳng định A: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'}$ - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ từ B đến A. - $\overrightarrow{BC}$ là vectơ từ B đến C. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. Khi cộng các vectơ này lại, ta có: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'} \] Điều này đúng vì theo quy tắc tam giác, ta có thể nối các vectơ này để tạo thành vectơ từ B đến D'. Khẳng định B: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{AA'}$ - $\overrightarrow{A'B'}$ là vectơ từ A' đến B'. - $\overrightarrow{A'D'}$ là vectơ từ A' đến D'. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Khi cộng các vectơ này lại, ta có: \[ \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} \] Điều này đúng vì theo quy tắc tam giác, ta có thể nối các vectơ này để tạo thành vectơ từ A đến C. Khẳng định C: $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{AD'}$ - $\overrightarrow{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\overrightarrow{AD'}$ là vectơ từ A đến D'. Điều này đúng vì cả hai vectơ đều có cùng hướng và độ dài, do đó chúng bằng nhau. Khẳng định D: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Khi cộng các vectơ này lại, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'} \] Điều này đúng vì theo quy tắc tam giác, ta có thể nối các vectơ này để tạo thành vectơ từ A đến B'. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng tất cả các khẳng định đều đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một khẳng định sai, thì có thể do lỗi trong đề bài hoặc yêu cầu của câu hỏi. Nhưng dựa vào các khẳng định đã cho, tất cả đều đúng. Câu 12: Để xác định điểm cực đại của hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta cần kiểm tra các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Trong bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \) tăng từ \( -\infty \) đến \( 0 \), giá trị của \( f(x) \) tăng từ \( -\infty \) đến 3. - Khi \( x \) tăng từ \( 0 \) đến \( +\infty \), giá trị của \( f(x) \) giảm từ 3 đến 1. Từ đây, ta nhận thấy rằng tại điểm \( x = 0 \), giá trị của \( f(x) \) đạt cực đại là 3. Do đó, điểm cực đại của hàm số là \( (0; 3) \). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(0;3). \] Câu 1: a) Tại thời điểm $t=0,$ vận tốc của con lắc đơn là: \[ v(0) = 2 \sin \left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ cm/s}. \] Đáp án đúng. b) Đạo hàm của $v(t)$ là: \[ v'(t) = \frac{d}{dt} \left[ 2 \sin \left(2t + \frac{\pi}{6}\right) \right] = 2 \cdot 2 \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right). \] Đáp án sai vì đạo hàm của $v(t)$ là $4 \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right)$ chứ không phải $-2 \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right)$. c) Nghiệm của phương trình $v'(x) = 0$ trên đoạn $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ là: \[ 4 \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \cos \left(2t + \frac{\pi}{6}\right) = 0. \] \[ 2t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Lấy $k = 0$, ta có: \[ 2t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \implies 2t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \implies t = \frac{\pi}{6}. \] Đáp án đúng. d) Trong khoảng từ 0 đến 10 giây, con lắc có 4 lần đạt vận tốc lớn nhất. Để xác định số lần đạt vận tốc lớn nhất, ta cần xem xét chu kỳ của hàm số $v(t)$. Chu kỳ của hàm số $\sin(2t + \frac{\pi}{6})$ là $\frac{2\pi}{2} = \pi$. Do đó, trong khoảng từ 0 đến 10 giây, số lần đạt vận tốc lớn nhất là: \[ \frac{10}{\pi} \approx 3.18. \] Vì vậy, con lắc sẽ đạt vận tốc lớn nhất 3 lần trong khoảng từ 0 đến 10 giây. Đáp án sai. Tóm lại: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. Câu 2: a) Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{2x + 1}{x} \right) \, dx = \int \left( 2 + \frac{1}{x} \right) \, dx = 2x + \ln |x| + C \] b) Ta biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$ và thỏa mãn $F(1) = 3$. Do đó: \[ F(x) = 2x + \ln x + C \] Áp dụng điều kiện $F(1) = 3$, ta có: \[ F(1) = 2 \cdot 1 + \ln 1 + C = 2 + 0 + C = 3 \implies C = 1 \] Vậy: \[ F(x) = 2x + \ln x + 1 \] c) Ta có: \[ f'(x) = \left( \frac{2x + 1}{x} \right)' = \left( 2 + \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2} \] Do đó: \[ f'(2x) = -\frac{1}{(2x)^2} = -\frac{1}{4x^2} \] Vậy: \[ \int f'(2x) \, dx = \int -\frac{1}{4x^2} \, dx = \frac{1}{4} \int -\frac{1}{x^2} \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + C = \frac{-1}{4x} + C \] d) Ta biết rằng $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn $G(2) = 1$ và $G(5) + G(-5) = 0$. Do đó: \[ G(x) = 2x + \ln |x| + C \] Áp dụng điều kiện $G(2) = 1$, ta có: \[ G(2) = 2 \cdot 2 + \ln 2 + C = 4 + \ln 2 + C = 1 \implies C = 1 - 4 - \ln 2 = -3 - \ln 2 \] Vậy: \[ G(x) = 2x + \ln |x| - 3 - \ln 2 \] Ta cần kiểm tra điều kiện $G(5) + G(-5) = 0$: \[ G(5) = 2 \cdot 5 + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 10 + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2 \] \[ G(-5) = 2 \cdot (-5) + \ln |-5| - 3 - \ln 2 = -10 + \ln 5 - 3 - \ln 2 = -13 + \ln 5 - \ln 2 \] \[ G(5) + G(-5) = (7 + \ln 5 - \ln 2) + (-13 + \ln 5 - \ln 2) = -6 + 2\ln 5 - 2\ln 2 = -6 + 2(\ln 5 - \ln 2) \] Để $G(5) + G(-5) = 0$, ta cần: \[ -6 + 2(\ln 5 - \ln 2) = 0 \implies \ln 5 - \ln 2 = 3 \implies \ln \left( \frac{5}{2} \right) = 3 \] Điều này không đúng, do đó ta cần kiểm tra lại. Ta thấy rằng $G(x)$ đã đúng, vì vậy ta tính $G(-10)$: \[ G(-10) = 2 \cdot (-10) + \ln |-10| - 3 - \ln 2 = -20 + \ln 10 - 3 - \ln 2 = -23 + \ln 10 - \ln 2 \] \[ G(-10) = -23 + \ln \left( \frac{10}{2} \right) = -23 + \ln 5 \] Vậy: \[ a = 0, \quad b = 1, \quad c = 0, \quad d = -23 \] \[ a + b + c + d = 0 + 1 + 0 - 23 = -22 \] Đáp số: $a + b + c + d = -22$. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp và quy tắc xác suất điều kiện. Bước 1: Xác định các biến cố liên quan: - Biến cố \( A \): Khách hàng thuộc nhóm tiêu chuẩn. - Biến cố \( B \): Khách hàng thuộc nhóm ưu tiên. - Biến cố \( C \): Khách hàng trên 60 tuổi. Bước 2: Xác định xác suất của các biến cố: - \( P(A) = 0.80 \) - \( P(B) = 0.20 \) Bước 3: Xác định xác suất điều kiện: - \( P(C|A) = 0.45 \) (tỉ lệ khách hàng trên 60 tuổi trong nhóm tiêu chuẩn) - \( P(C|B) = 0.55 \) (tỉ lệ khách hàng trên 60 tuổi trong nhóm ưu tiên) Bước 4: Áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp để tìm xác suất của biến cố \( C \): \[ P(C) = P(C|A) \cdot P(A) + P(C|B) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(C) = 0.45 \cdot 0.80 + 0.55 \cdot 0.20 \] \[ P(C) = 0.36 + 0.11 \] \[ P(C) = 0.47 \] Vậy xác suất chọn ngẫu nhiên một khách hàng trên 60 tuổi là 0.47. Đáp số: \( P(C) = 0.47 \).