Tìm tất cả các số nguyên dương 𝑛n sao cho ${n^2}$+n+1n 2+n+1 chia hết cho n+3n+3.

Để tìm tất cả các số nguyên dương \( n \) sao cho \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( n + 3 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại biểu thức \( n^2 + n + 1 \) dưới dạng: \[ n^2 + n + 1 = (n + 3)(n - 2) + 7 \] Bước 2: Để \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( n + 3 \), ta cần \( 7 \) chia hết cho \( n + 3 \). Do đó, \( n + 3 \) phải là ước của 7. Bước 3: Các ước của 7 là 1 và 7. Ta xét các trường hợp sau: - Trường hợp 1: \( n + 3 = 1 \) \[ n = 1 - 3 = -2 \] Điều này không thỏa mãn vì \( n \) phải là số nguyên dương. - Trường hợp 2: \( n + 3 = 7 \) \[ n = 7 - 3 = 4 \] Điều này thỏa mãn vì \( n = 4 \) là số nguyên dương. Vậy, số nguyên dương \( n \) duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( n = 4 \). Đáp số: \( n = 4 \)