Trả lời câu hỏi trên

Câu 11. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu nào là đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC}$ là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, tức là $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ sẽ không bằng $\overrightarrow{AD}$ vì $\overrightarrow{AD}$ là đường chéo từ A đến D, không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC}$ là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, tức là $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Tuy nhiên, $\overrightarrow{AD}$ là đường chéo từ A đến D, không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ sẽ không bằng $\overrightarrow{AC}$. C. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ A lên A', tức là vectơ chỉ chiều cao của hình hộp. Khi cộng $\overrightarrow{AA'}$ với $\overrightarrow{AC}$, ta sẽ không thu được $\overrightarrow{AC}$ vì $\overrightarrow{AA'}$ không nằm trong mặt phẳng ABCD. Do đó, phát biểu này là sai. D. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC}$ là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, tức là $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Tuy nhiên, $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ A lên A', tức là vectơ chỉ chiều cao của hình hộp. Khi cộng $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$, ta sẽ thu được $\overrightarrow{AC}$ vì $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ chiều cao của hình hộp và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ chỉ hai cạnh của đáy hình hộp. Do đó, phát biểu này là đúng. Vậy phát biểu đúng là: D. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. Câu 12. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị, ta cần kiểm tra hướng của đồ thị từ trái sang phải. Nếu đồ thị đi lên (từ dưới lên trên), hàm số đồng biến ở khoảng đó. Ta sẽ kiểm tra từng khoảng đã cho: - Khoảng $(0;1)$: Trên đoạn này, đồ thị đi xuống, tức là hàm số nghịch biến. - Khoảng $(1;2)$: Trên đoạn này, đồ thị đi lên, tức là hàm số đồng biến. - Khoảng $(-1;0)$: Trên đoạn này, đồ thị đi xuống, tức là hàm số nghịch biến. - Khoảng $(-1;1)$: Trên đoạn này, hàm số có cả đoạn đi lên và đoạn đi xuống, do đó không phải là khoảng đồng biến toàn bộ. Vậy, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;2)$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}~(1;2).$ Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một. a) Kiểm tra giá trị của \( f(\pi) \) Ta có: \[ f(x) = 2\cos x - x + \pi \] Thay \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 2\cos(\pi) - \pi + \pi \] \[ f(\pi) = 2(-1) - \pi + \pi \] \[ f(\pi) = -2 \] Vậy, \( f(\pi) = -2 \). Đúng. b) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \) Ta có: \[ f(x) = 2\cos x - x + \pi \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\cos x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\pi) \] \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Vậy, đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = -2\sin x - 1 \). Sai. c) Số nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) Ta có: \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -2\sin x - 1 = 0 \] \[ -2\sin x = 1 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), giá trị của \( \sin x = -\frac{1}{2} \) chỉ xảy ra tại \( x = -\frac{\pi}{6} \). Vậy, số nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) là 1. Sai. d) Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) Ta có: \[ f(x) = 2\cos x - x + \pi \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Tìm điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ -2\sin x - 1 = 0 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] \[ x = -\frac{\pi}{6} \] Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2\cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2(0) + \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{2} \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2(0) - \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2\cos\left( -\frac{\pi}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{\pi}{6} + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + \pi \] So sánh các giá trị: \[ \frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{2} > \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + \pi \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) là \( \frac{\pi}{2} \). Đúng. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên thông tin đã cung cấp và các yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và chuyển đổi đơn vị - Vận tốc ban đầu của ô tô là 28,8 km/h. - Chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị m/s: \[ v_0 = 28,8 \times \frac{1000}{3600} = 8 \text{ m/s} \] Bước 2: Xác định thời gian và quãng đường - Thời gian từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 16 giây. - Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m. Bước 3: Xác định phương trình vận tốc và tích phân để tìm quãng đường - Vận tốc của ô tô trong quá trình tăng tốc được cho bởi \( v(t) = at + b \). - Biết rằng sau 16 giây, ô tô đã đi được 208 m từ khi bắt đầu tăng tốc. Bước 4: Tính quãng đường S(t) - Quãng đường S(t) mà ô tô đi được trong thời gian t giây được tính bằng tích phân của v(t): \[ S(t) = \int_0^t (at + b) \, dt \] \[ S(t) = \left[ \frac{a}{2} t^2 + bt \right]_0^t = \frac{a}{2} t^2 + bt \] Bước 5: Áp dụng điều kiện ban đầu và cuối cùng - Tại t = 0, vận tốc ban đầu là 8 m/s, do đó \( b = 8 \). - Tại t = 16, quãng đường là 208 m: \[ S(16) = \frac{a}{2} (16)^2 + 8 \cdot 16 = 208 \] \[ 128a + 128 = 208 \] \[ 128a = 80 \] \[ a = \frac{80}{128} = \frac{5}{8} \] Bước 6: Kiểm tra tốc độ sau 30 giây - Vận tốc sau 30 giây: \[ v(30) = a \cdot 30 + b = \frac{5}{8} \cdot 30 + 8 = \frac{150}{8} + 8 = 18.75 + 8 = 26.75 \text{ m/s} \] - Chuyển đổi về km/h: \[ v(30) = 26.75 \times \frac{3600}{1000} = 96.3 \text{ km/h} \] Kết luận - Giá trị của \( b \) là 8. - Vận tốc sau 30 giây không vượt quá 100 km/h. Đáp số: a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m. b) Giá trị của \( b \) là 8. d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp và xác suất có điều kiện. Bước 1: Xác định xác suất ban đầu của các loại sản phẩm: - Xác suất để chọn một sản phẩm loại I: \( P(I) = 0.85 \) - Xác suất để chọn một sản phẩm loại II: \( P(II) = 0.15 \) Bước 2: Xác định xác suất sản phẩm bị hỏng trong mỗi loại: - Xác suất sản phẩm loại I bị hỏng: \( P(H | I) = 0.01 \) - Xác suất sản phẩm loại II bị hỏng: \( P(H | II) = 0.04 \) Bước 3: Áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp để tìm xác suất sản phẩm bị hỏng: \[ P(H) = P(H | I) \cdot P(I) + P(H | II) \cdot P(II) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ P(H) = (0.01 \times 0.85) + (0.04 \times 0.15) \] \[ P(H) = 0.0085 + 0.006 \] \[ P(H) = 0.0145 \] Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một sản phẩm bị hỏng là 0.0145 hoặc 1.45%. Đáp số: 0.0145