Giải hộ mình câu này với các bạn. Làm ngắn gọn nhất có thể

Ví dụ 21. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với biểu thức \( P = \frac{x-2}{x-1} + \frac{x+1}{x+1} \): - Điều kiện: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \) - Đối với biểu thức \( Q = \frac{1}{1-x^2} \): - Điều kiện: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \) 2. Biến đổi biểu thức \( P \): - \( P = \frac{x-2}{x-1} + \frac{x+1}{x+1} \) - Ta thấy rằng \( \frac{x+1}{x+1} = 1 \) (vì \( x \neq -1 \)) - Vậy \( P = \frac{x-2}{x-1} + 1 \) 3. Biến đổi biểu thức \( Q \): - \( Q = \frac{1}{1-x^2} \) - Ta nhận thấy rằng \( 1 - x^2 = (1-x)(1+x) \) - Vậy \( Q = \frac{1}{(1-x)(1+x)} \) 4. Đặt điều kiện để \( P = 2Q \): - \( \frac{x-2}{x-1} + 1 = 2 \cdot \frac{1}{(1-x)(1+x)} \) - Nhân cả hai vế với \( (x-1)(1-x)(1+x) \) để khử mẫu: \[ (x-2)(1-x)(1+x) + (x-1)(1-x)(1+x) = 2(x-1) \] - Đơn giản hóa: \[ (x-2)(1-x^2) + (x-1)(1-x^2) = 2(x-1) \] \[ (x-2)(1-x^2) + (x-1)(1-x^2) = 2(x-1) \] \[ (x-2 + x-1)(1-x^2) = 2(x-1) \] \[ (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \] 5. Giải phương trình: - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) - \( (2x-3)(1-x^2) = 2(x-1) \) 6. Kiểm tra lại điều kiện: - \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \) 7. Kết luận: - Giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện và phương trình là \( x = 2 \) Vậy giá trị của \( x \) để biểu thức \( P \) bằng 2 lần giá trị của biểu thức \( Q \) là \( x = 2 \). Ví dụ 12. Gọi vận tốc của bạn Phong là \( v \) (km/h, điều kiện: \( v > 0 \)). Vận tốc của bạn Khang là \( v + 6 \) (km/h). Thời gian để bạn Phong đi đến địa điểm hẹn là \( \frac{6}{v} \) (giờ). Thời gian để bạn Khang đi đến địa điểm hẹn là \( \frac{7}{v + 6} \) (giờ). Vì hai bạn đến địa điểm hẹn cùng một lúc nên thời gian đi của hai bạn bằng nhau: \[ \frac{6}{v} = \frac{7}{v + 6} \] Nhân cả hai vế với \( v(v + 6) \): \[ 6(v + 6) = 7v \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 6v + 36 = 7v \] \[ 36 = 7v - 6v \] \[ 36 = v \] Vậy vận tốc của bạn Phong là 36 km/h. Vận tốc của bạn Khang là: \[ v + 6 = 36 + 6 = 42 \text{ km/h} \] Đáp số: Vận tốc của bạn Phong là 36 km/h, vận tốc của bạn Khang là 42 km/h. Ví dụ 14. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng thời gian đi và về: Tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút, tức là 4,4 giờ. 2. Gọi vận tốc lượt đi là \( v \) km/giờ: Vận tốc lượt về sẽ là \( 1,2v \) km/giờ (vì tốc độ lượt về lớn hơn tốc độ lượt đi 20%). 3. Tính thời gian đi và thời gian về: Thời gian đi từ A đến B là \( \frac{120}{v} \) giờ. Thời gian về từ B đến A là \( \frac{120}{1,2v} \) giờ. 4. Lập phương trình dựa trên tổng thời gian: Tổng thời gian đi và về là 4,4 giờ, nên ta có phương trình: \[ \frac{120}{v} + \frac{120}{1,2v} = 4,4 \] 5. Giải phương trình: Ta có: \[ \frac{120}{v} + \frac{120}{1,2v} = 4,4 \] Nhân cả hai vế với \( v \): \[ 120 + \frac{120}{1,2} = 4,4v \] \[ 120 + 100 = 4,4v \] \[ 220 = 4,4v \] Chia cả hai vế cho 4,4: \[ v = \frac{220}{4,4} = 50 \text{ km/giờ} \] 6. Kết luận: Vận tốc lượt đi của ô tô là 50 km/giờ. Đáp số: 50 km/giờ. Bài 1. a) \( x(x-2) = 0 \) Phương trình này có dạng tích hai thừa số bằng 0, do đó ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \). b) \( (2x+1)(3x-2) = 0 \) Phương trình này cũng có dạng tích hai thừa số bằng 0, do đó ta có: \[ 2x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x - 2 = 0 \] \[ 2x = -1 \quad \text{hoặc} \quad 3x = 2 \] \[ x = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{1}{2} \) hoặc \( x = \frac{2}{3} \). c) \( (x^2 - 4) + x(x - 2) = 0 \) Ta nhóm lại và phân tích thành nhân tử: \[ (x^2 - 4) + x(x - 2) = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) + x(x - 2) = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2 + x) = 0 \] \[ (x - 2)(2x + 2) = 0 \] Phương trình này có dạng tích hai thừa số bằng 0, do đó ta có: \[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 2 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad 2x = -2 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \). d) \( (2x + 1)^2 - 9x^2 = 0 \) Ta nhận thấy đây là dạng hiệu hai bình phương: \[ (2x + 1)^2 - (3x)^2 = 0 \] \[ [(2x + 1) - 3x][(2x + 1) + 3x] = 0 \] \[ (-x + 1)(5x + 1) = 0 \] Phương trình này có dạng tích hai thừa số bằng 0, do đó ta có: \[ -x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x + 1 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad 5x = -1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{5} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = -\frac{1}{5} \). Bài 2. a) $5x(2x-3)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $5x=0$ hoặc $2x-3=0$ Giải từng phương trình: - $5x=0 \Rightarrow x=0$ - $2x-3=0 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=0$ hoặc $x=\frac{3}{2}$. b) $(2x-5)(3x+6)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $2x-5=0$ hoặc $3x+6=0$ Giải từng phương trình: - $2x-5=0 \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{2}$ - $3x+6=0 \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5}{2}$ hoặc $x=-2$. c) $(\frac{2}{3}x-1)(\frac{1}{2}x+3)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $\frac{2}{3}x-1=0$ hoặc $\frac{1}{2}x+3=0$ Giải từng phương trình: - $\frac{2}{3}x-1=0 \Rightarrow \frac{2}{3}x=1 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}x+3=0 \Rightarrow \frac{1}{2}x=-3 \Rightarrow x=-6$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-6$. d) $(2,5t-7,5)(0,2t+5)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $2,5t-7,5=0$ hoặc $0,2t+5=0$ Giải từng phương trình: - $2,5t-7,5=0 \Rightarrow 2,5t=7,5 \Rightarrow t=3$ - $0,2t+5=0 \Rightarrow 0,2t=-5 \Rightarrow t=-25$ Vậy nghiệm của phương trình là $t=3$ hoặc $t=-25$. Bài 3. a) $(9x-4)(2x+5)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $9x-4=0$ hoặc $2x+5=0$ Giải từng phương trình: $9x=4$ hoặc $2x=-5$ $x=\frac{4}{9}$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4}{9}$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$. b) $(1,3x+0,26)(0,2x-4)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $1,3x+0,26=0$ hoặc $0,2x-4=0$ Giải từng phương trình: $1,3x=-0,26$ hoặc $0,2x=4$ $x=-\frac{0,26}{1,3}=-0,2$ hoặc $x=\frac{4}{0,2}=20$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=-0,2$ hoặc $x=20$. c) $2x(x+3)-5(x+3)=0$ Nhóm các hạng tử có chung thừa số $(x+3)$: $(x+3)(2x-5)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $x+3=0$ hoặc $2x-5=0$ Giải từng phương trình: $x=-3$ hoặc $2x=5$ $x=-3$ hoặc $x=\frac{5}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=-3$ hoặc $x=\frac{5}{2}$. d) $x^2-4+(x+2)(2x-1)=0$ Rút gọn phương trình: $x^2-4+2x^2+x-2=0$ $3x^2+x-6=0$ Phương trình này có dạng $ax^2+bx+c=0$, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: $(3x-2)(x+3)=0$ Phương trình này có dạng tích của hai thừa số bằng 0, do đó ta có: $3x-2=0$ hoặc $x+3=0$ Giải từng phương trình: $3x=2$ hoặc $x=-3$ $x=\frac{2}{3}$ hoặc $x=-3$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{2}{3}$ hoặc $x=-3$. Bài 4. a) $3x(x-4)+7(x-4)=0$ $(x-4)(3x+7)=0$ $x-4=0$ hoặc $3x+7=0$ $x=4$ hoặc $x=\frac{-7}{3}$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4$ và $x=\frac{-7}{3}$ b) $5x(x+6)-2x-12=0$ $5x(x+6)-2(x+6)=0$ $(x+6)(5x-2)=0$ $x+6=0$ hoặc $5x-2=0$ $x=-6$ hoặc $x=\frac{2}{5}$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=-6$ và $x=\frac{2}{5}$ c) $x^2-x-(5x-5)=0$ $x(x-1)-5(x-1)=0$ $(x-1)(x-5)=0$ $x-1=0$ hoặc $x-5=0$ $x=1$ hoặc $x=5$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=1$ và $x=5$ d) $(3x-2)^2-(x+6)^2=0$ $(3x-2-x-6)(3x-2+x+6)=0$ $(2x-8)(4x+4)=0$ $2x-8=0$ hoặc $4x+4=0$ $x=4$ hoặc $x=-1$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4$ và $x=-1$ Bài 5. a) Điều kiện: $x \neq 0$ và $x \neq -2$. Phương trình đã cho tương đương với: $3(x + 2) = 5x$. Giải phương trình này ta được $x = 3$. Kiểm tra lại, thấy $x = 3$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$. b) Điều kiện: $x \neq \frac{1}{2}$ và $x \neq -\frac{5}{2}$. Phương trình đã cho tương đương với: $x(2x + 5) = (x - 2)(2x - 1)$. Giải phương trình này ta được $x = -\frac{2}{3}$. Kiểm tra lại, thấy $x = -\frac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -\frac{2}{3}$. c) Điều kiện: $x \neq 2$. Phương trình đã cho tương đương với: $\frac{5x}{x-2} = \frac{7(x-2) + 10}{x-2}$. Giải phương trình này ta được $x = 4$. Kiểm tra lại, thấy $x = 4$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 4$. d) Điều kiện: $x \neq 0$. Phương trình đã cho tương đương với: $x^2 - 6 = x^2 + \frac{3}{2}x$. Giải phương trình này ta được $x = -4$. Kiểm tra lại, thấy $x = -4$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -4$. Bài 6. a) Điều kiện: $x\ne -\frac12;~x\ne -1.$ Quy đồng mẫu hai vế ta được: $\frac{2(x+1)+2x+1}{(2x+1)(x+1)}=\frac3{(2x+1)(x+1)}$ $\frac{4x+3}{(2x+1)(x+1)}=\frac3{(2x+1)(x+1)}$ Trừ cả hai vế cho $\frac3{(2x+1)(x+1)}$ ta được: $\frac{4x}{(2x+1)(x+1)}=0$ Tức là $4x=0.$ Suy ra $x=0.$ Thử lại: $x=0$ thỏa mãn điều kiện và là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0.$ b) Điều kiện: $x\ne -1.$ Phương trình đã cho viết lại là: $\frac1{x+1}-\frac x{x^2-x+1}=\frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$ Quy đồng mẫu hai vế ta được: $\frac{x^2-x+1-x(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$ $\frac{-2x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$ Trừ cả hai vế cho $\frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$ ta được: $\frac{-5x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=0$ Tức là $-5x+1=0.$ Suy ra $x=\frac15.$ Thử lại: $x=\frac15$ thỏa mãn điều kiện và là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac15.$ Bài 7. a) Điều kiện: \( x \neq 3 \) Phương trình đã cho tương đương với: \[ \frac{x+5}{x-3} + 2 = \frac{2}{x-3} \] Nhân cả hai vế với \( x - 3 \): \[ x + 5 + 2(x - 3) = 2 \] \[ x + 5 + 2x - 6 = 2 \] \[ 3x - 1 = 2 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Kiểm tra điều kiện: \( x = 1 \) thỏa mãn \( x \neq 3 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \). b) Điều kiện: \( x \neq -1 \) và \( x \neq 0 \) Phương trình đã cho tương đương với: \[ \frac{3x+5}{x+1} + \frac{2}{x} = 3 \] Nhân cả hai vế với \( x(x + 1) \): \[ x(3x + 5) + 2(x + 1) = 3x(x + 1) \] \[ 3x^2 + 5x + 2x + 2 = 3x^2 + 3x \] \[ 3x^2 + 7x + 2 = 3x^2 + 3x \] \[ 7x + 2 = 3x \] \[ 4x = -2 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Kiểm tra điều kiện: \( x = -\frac{1}{2} \) thỏa mãn \( x \neq -1 \) và \( x \neq 0 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{1}{2} \). c) Điều kiện: \( x \neq 2 \) và \( x \neq 3 \) Phương trình đã cho tương đương với: \[ \frac{x+3}{x-2} + \frac{x+2}{x-3} = 2 \] Nhân cả hai vế với \( (x - 2)(x - 3) \): \[ (x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2) = 2(x - 2)(x - 3) \] \[ x^2 - 9 + x^2 - 4 = 2(x^2 - 5x + 6) \] \[ 2x^2 - 13 = 2x^2 - 10x + 12 \] \[ -13 = -10x + 12 \] \[ -25 = -10x \] \[ x = \frac{5}{2} \] Kiểm tra điều kiện: \( x = \frac{5}{2} \) thỏa mãn \( x \neq 2 \) và \( x \neq 3 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{5}{2} \). d) Điều kiện: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) Phương trình đã cho tương đương với: \[ \frac{x+2}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{16}{x^2-4} \] Nhân cả hai vế với \( (x - 2)(x + 2) \): \[ (x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 16 \] \[ x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4x + 4) = 16 \] \[ x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 16 \] \[ 8x = 16 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra điều kiện: \( x = 2 \) không thỏa mãn \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm.