đáp án các câu hỏi

Câu 12. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần dựa vào đồ thị của hàm số $-f(x)$. Trước tiên, ta nhận thấy rằng nếu hàm số $-f(x)$ đồng biến trên một khoảng nào đó, thì hàm số $f(x)$ sẽ nghịch biến trên cùng khoảng đó. Điều này là do khi nhân một hàm số với dấu âm, tính chất đồng biến/nghịch biến của nó sẽ đảo ngược. Ta quan sát đồ thị của hàm số $-f(x)$: - Trên khoảng $(0; +\infty)$, đồ thị của $-f(x)$ đang tăng dần, tức là đồng biến. Do đó, hàm số $f(x)$ sẽ nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(0;+\infty). \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) $\cos \alpha < 0$ - Điều kiện $\frac{s^2 \cdot \alpha - \frac{\pi}{2}}{\alpha} < \alpha < \pi$ cho thấy $\alpha$ nằm trong khoảng $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. - Trong khoảng này, $\cos \alpha$ luôn nhỏ hơn 0 vì $\cos \alpha$ âm ở nửa trên của vòng tròn đơn vị. Do đó, $\cos \alpha < 0$ là đúng. b) $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$ - Ta biết rằng $\cos \alpha$ phải nhỏ hơn 0 trong khoảng $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. - Kiểm tra giá trị $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$: \[ \left( \frac{-\sqrt{5}}{3} \right)^2 = \frac{5}{9} \] Điều này có nghĩa là $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, do đó: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \] Suy ra: \[ \sin \alpha = \pm \frac{2}{3} \] Vì $\alpha$ nằm trong khoảng $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, $\sin \alpha$ phải dương, nên: \[ \sin \alpha = \frac{2}{3} \] Do đó, $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$ là đúng. c) $\sin \left( \frac{5\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ - Ta biết rằng $\sin \left( \frac{5\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$. - Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha \] - Từ phần b), ta đã biết $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$. Do đó, $\sin \left( \frac{5\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ là sai. d) Giá trị của biểu thức $P = \frac{\sqrt{5} \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ là $\frac{10}{9}$ - Ta biết rằng $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. - Từ phần b), ta có $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ và $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$, suy ra: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{-\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{-\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \] - Thay vào biểu thức $P$: \[ P = \frac{\sqrt{5} \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)}{1 + \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2} = \frac{-2}{1 + \frac{4}{5}} = \frac{-2}{\frac{9}{5}} = \frac{-2 \times 5}{9} = \frac{-10}{9} \] Do đó, giá trị của biểu thức $P$ là $\frac{-10}{9}$, không phải $\frac{10}{9}$. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) $\cos \alpha < 0$ và b) $\cos \alpha = \frac{-\sqrt{5}}{3}$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất của các sự kiện liên quan. 2. Xác định các xác suất cần thiết để giải quyết câu hỏi. Bước 1: Tính xác suất của các sự kiện liên quan - Số bệnh nhân bị bỏng do nhiệt: 35 bệnh nhân. - Số bệnh nhân bị bỏng do hóa chất: 15 bệnh nhân. - Tổng số bệnh nhân: 50 bệnh nhân. Xác suất của các sự kiện: - \( P(A) = \frac{35}{50} = 0,7 \) - \( P(B) = \frac{15}{50} = 0,3 \) Trong số 35 bệnh nhân bị bỏng do nhiệt, có 30% bệnh nhân bị biến chứng: - Số bệnh nhân bị bỏng do nhiệt và bị biến chứng: \( 35 \times 0,3 = 10,5 \approx 11 \) bệnh nhân. Trong số 15 bệnh nhân bị bỏng do hóa chất, có 50% bệnh nhân bị biến chứng: - Số bệnh nhân bị bỏng do hóa chất và bị biến chứng: \( 15 \times 0,5 = 7,5 \approx 8 \) bệnh nhân. Tổng số bệnh nhân bị biến chứng: - \( 11 + 8 = 19 \) bệnh nhân. Xác suất của các sự kiện liên quan đến biến chứng: - \( P(C) = \frac{19}{50} = 0,38 \) - \( P(C \cap A) = \frac{11}{50} = 0,22 \) - \( P(C \cap B) = \frac{8}{50} = 0,16 \) Bước 2: Xác định các xác suất cần thiết để giải quyết câu hỏi a) \( P(B) = 0,3 \) b) \( P(C \setminus A) = P(C \cap B) = 0,16 \) c) \( P(C) = 0,38 \) d) Trong số bệnh nhân bị biến chứng có 25% bệnh nhân bị bỏng do nhiệt: - Số bệnh nhân bị biến chứng: 19 bệnh nhân. - Số bệnh nhân bị biến chứng và bị bỏng do nhiệt: 11 bệnh nhân. - Phần trăm bệnh nhân bị biến chứng và bị bỏng do nhiệt: \( \frac{11}{19} \times 100 \approx 57,89\% \) Đáp số: a) \( P(B) = 0,3 \) b) \( P(C \setminus A) = 0,16 \) c) \( P(C) = 0,38 \) d) Trong số bệnh nhân bị biến chứng có khoảng 57,89% bệnh nhân bị bỏng do nhiệt. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(5;0;0)$, $N(0;-5;0)$, $P(0;0;\frac{1}{2})$. Ta có thể viết phương trình mặt phẳng dưới dạng: \[ ax + by + cz = d \] Thay tọa độ của ba điểm vào phương trình mặt phẳng: - Thay $M(5;0;0)$: $5a = d$ - Thay $N(0;-5;0)$: $-5b = d$ - Thay $P(0;0;\frac{1}{2})$: $\frac{1}{2}c = d$ Từ đó ta có: \[ d = 5a = -5b = \frac{1}{2}c \] Chọn $d = 5$, ta có: \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c = 10 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ x - y + 10z = 5 \] Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng AB Đường thẳng AB đi qua hai điểm $A(\frac{7}{2}; -2; 0)$ và $B(\frac{7}{2}; \frac{11}{2}; 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[ x = \frac{7}{2} \] \[ y = -2 + \frac{15}{2}t \] \[ z = 0 \] Bước 3: Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng $(\alpha)$ Thay phương trình đường thẳng AB vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: \[ \frac{7}{2} - (-2 + \frac{15}{2}t) + 10 \cdot 0 = 5 \] \[ \frac{7}{2} + 2 - \frac{15}{2}t = 5 \] \[ \frac{11}{2} - \frac{15}{2}t = 5 \] \[ \frac{11}{2} - 5 = \frac{15}{2}t \] \[ \frac{1}{2} = \frac{15}{2}t \] \[ t = \frac{1}{15} \] Thay $t = \frac{1}{15}$ vào phương trình đường thẳng AB: \[ x = \frac{7}{2} \] \[ y = -2 + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{15} = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \] \[ z = 0 \] Vậy tọa độ của điểm C là: \[ C\left(\frac{7}{2}, -\frac{3}{2}, 0\right) \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện an toàn bay Theo quy định, người phi công phải nhìn thấy điểm D của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120m. Ta cần kiểm tra nếu điểm C nằm trong khoảng an toàn này. Do điểm C có tọa độ $z = 0$, tức là nằm trên mặt đất, nên không thỏa mãn điều kiện an toàn bay. Kết luận Tọa độ của điểm C là: \[ C\left(\frac{7}{2}, -\frac{3}{2}, 0\right) \] Tuy nhiên, điểm C không thỏa mãn điều kiện an toàn bay vì nó nằm trên mặt đất.