Giải giúp em

Câu 12. Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) là các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 hoặc không xác định. Trong trường hợp này, \( f'(x) \) là một đa thức nên nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, chúng ta chỉ cần tìm các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^3 = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 4 \] 2. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Để xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hay cực tiểu), chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng giữa các nghiệm. - Khi \( x < -1 \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)(-2 + 1)(-2 - 4)^3 = (-2)(-1)(-6)^3 = -2 \times (-1) \times (-216) = -432 < 0 \] - Khi \( -1 < x < 0 \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)(-0.5 + 1)(-0.5 - 4)^3 = (-0.5)(0.5)(-4.5)^3 = -0.5 \times 0.5 \times (-91.125) = 22.78125 > 0 \] - Khi \( 0 < x < 4 \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)(1 + 1)(1 - 4)^3 = (1)(2)(-3)^3 = 1 \times 2 \times (-27) = -54 < 0 \] - Khi \( x > 4 \): Chọn \( x = 5 \): \[ f'(5) = (5)(5 + 1)(5 - 4)^3 = (5)(6)(1)^3 = 5 \times 6 \times 1 = 30 > 0 \] 3. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 4 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực đại tại \( x = 0 \). Đáp án: D. 1 Câu 1. a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ như sau: Đồ thị hàm số $y=\sin(x+\frac{\pi}{4})$ là đồ thị hàm số $y=\sin x$ dịch chuyển sang trái $\frac{\pi}{4}$ đơn vị. Do đó, đồ thị đã cho là đúng. b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x=\frac{3\pi}{8}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$ Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta giải phương trình: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin x$ Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) - \sin x = 0$ $2\cos(\frac{x+\frac{\pi}{4}+x}{2})\sin(\frac{x+\frac{\pi}{4}-x}{2}) = 0$ $\cos(\frac{2x+\frac{\pi}{4}}{2})\sin(\frac{\pi}{8}) = 0$ $\cos(x+\frac{\pi}{8}) = 0$ $x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$ Do đó, khẳng định này là đúng. c) Khi $x\in[0;2\pi]$ thì tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $(\frac{5\pi}{8};\sin\frac{5\pi}{8}),(\frac{7\pi}{8};\sin\frac{7\pi}{8}).$ Ta đã tìm được hoành độ giao điểm là $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$. Khi $x \in [0; 2\pi]$, ta có các giá trị $k = 0$ và $k = 1$: - Với $k = 0$: $x = \frac{3\pi}{8}$ - Với $k = 1$: $x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}$ Tuy nhiên, $\frac{11\pi}{8}$ không thuộc khoảng $[0; 2\pi]$. Do đó, chỉ có $x = \frac{3\pi}{8}$ là giá trị duy nhất trong khoảng này. Tọa độ giao điểm là $(\frac{3\pi}{8}, \sin(\frac{3\pi}{8}))$. Do đó, khẳng định này là sai. d) Xét hàm số $h(x)=\sqrt{2}f(x)+g(x)$. Khi đó max $h(x)=\sqrt{5}$. $h(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) + \sin x$ Ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $h(x) = \sqrt{2}(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}) + \sin x$ $h(x) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x) + \sin x$ $h(x) = \sin x + \cos x + \sin x$ $h(x) = 2\sin x + \cos x$ Để tìm giá trị lớn nhất của $h(x)$, ta sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức: $h(x) = \sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{5}}\cos x)$ $h(x) = \sqrt{5}\sin(x + \alpha)$, với $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ và $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ Giá trị lớn nhất của $\sin(x + \alpha)$ là 1, do đó giá trị lớn nhất của $h(x)$ là $\sqrt{5}$. Do đó, khẳng định này là đúng. Đáp số: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.