giải câu 50 Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}2=\frac{z+2}3$ và mặt phẳng,$(P):~x+2y-2z+3=0.$ Tìm điểm $M\in d$ có hoành độ và tung độ âm sao cho khoảng cách từ,M đến (P) bằng 2 ?,$A.~M(-2;-3;-1).$ $B.~M(-1;-3;-5).$ $C.~M(-2;-5;-8).$ $D.~M(-1;-5;-7).$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 50:
Để tìm điểm $ M \in d $ có hoành độ và tung độ âm sao cho khoảng cách từ $ M $ đến mặt phẳng $ (P) $ bằng 2, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $ d $:
   Đường thẳng $ d $ có phương trình:
   $$
   \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{3}
   $$
   Ta viết phương trình tham số của $ d $:
   $$
   \begin{cases}
   x = t \
   y = 2t - 1 \
   z = 3t - 2
   \end{cases}
   $$

2. Tìm tọa độ của điểm $ M $:
   Gọi $ M(t, 2t - 1, 3t - 2) $.

3. Tính khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ (P) $:
   Mặt phẳng $ (P) $ có phương trình:
   $$
   x + 2y - 2z + 3 = 0
   $$
   Khoảng cách từ điểm $ M(t, 2t - 1, 3t - 2) $ đến mặt phẳng $ (P) $ là:
   $$
   d(M, (P)) = \frac{|t + 2(2t - 1) - 2(3t - 2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|t + 4t - 2 - 6t + 4 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|t + 4t - 6t + 5|}{3} = \frac{|-t + 5|}{3}
   $$
   Ta biết rằng khoảng cách này bằng 2:
   $$
   \frac{|-t + 5|}{3} = 2 \implies |-t + 5| = 6
   $$
   Từ đây, ta có hai trường hợp:
   $$
   -t + 5 = 6 \quad \text{hoặc} \quad -t + 5 = -6
   $$
   Giải các phương trình này:
   $$
   -t + 5 = 6 \implies -t = 1 \implies t = -1
   $$
   $$
   -t + 5 = -6 \implies -t = -11 \implies t = 11
   $$

4. Kiểm tra điều kiện hoành độ và tung độ âm:
   - Với $ t = -1 $:
     $$
     M(-1, 2(-1) - 1, 3(-1) - 2) = M(-1, -3, -5)
     $$
     Điểm $ M(-1, -3, -5) $ có hoành độ và tung độ âm.
   
   - Với $ t = 11 $:
     $$
     M(11, 2(11) - 1, 3(11) - 2) = M(11, 21, 31)
     $$
     Điểm $ M(11, 21, 31) $ không thỏa mãn điều kiện hoành độ và tung độ âm.

Do đó, điểm $ M $ duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là $ M(-1, -3, -5) $.

Đáp án đúng là:
$$ B.~M(-1; -3; -5) $$