Giúp mình với!Giúp mình với! Câu 2355

Câu 2355. Để giải quyết yêu cầu này, chúng ta sẽ sử dụng bảng lượng giác để tìm giá trị của các hàm lượng giác đã cho. Dưới đây là các giá trị tương ứng: a) $\sin 80^0 = 0,9848$ b) $\cos 75^0 = 0,2588$ c) $\tan 65^0 = 2,1445$ d) $\cot 85^0 = 0,0875$ e) $\sin 66^0 = 0,9135$ f) $\cos 83^0 = 0,1219$ g) $\tan 71^0 = 2,9042$ h) $\cot 59^0 = 0,6009$ i) $\sin 52^0 = 0,7880$ j) $\cos 88^0 = 0,0349$ k) $\tan 64^0 = 2,0503$ l) $\cot 79^0 = 0,2126$ Như vậy, chúng ta đã tìm được giá trị của các hàm lượng giác theo yêu cầu. Câu 2354. 1) Ta có: \[ \tan^2 x = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \] Do đó: \[ 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \] 2) Ta có: \[ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) \] Biết rằng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, nên: \[ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = \sin^2 x - \cos^2 x \] Mặt khác: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] Do đó: \[ \sin^4 x - \cos^4 x = (1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = 1 - 2\cos^2 x \] 3) Ta có: \[ \tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \sin^2 x \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) = \sin^2 x \left( \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \right) \] Biết rằng $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, nên: \[ \tan^2 x - \sin^2 x = \sin^2 x \left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right) = \tan^2 x \cdot \sin^2 x \] 4) Ta có: \[ \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \] Đáp số: 1) $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ 2) $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ 3) $\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x$ 4) $\frac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \tan^2 x$ Câu 2355. 1) Ta có: \[ 1 + \cot^2 x = 1 + \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^2 = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \] 2) Ta có: \[ \frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} \] 3) Ta có: \[ \frac{(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2}{4 \sin x \cos x} = \frac{(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x) - (\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x)}{4 \sin x \cos x} \] \[ = \frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x}{4 \sin x \cos x} \] \[ = \frac{4 \sin x \cos x}{4 \sin x \cos x} = 1 \] Đáp số: 1) \(1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\) 2) \(\frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}\) 3) \(\frac{(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2}{4 \sin x \cos x} = 1\) Câu 2356. 1) Ta có: \[ \tan^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cot^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = \left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \right)^2 \cdot \cos^2\alpha + \left( \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \right)^2 \cdot \sin^2\alpha \] \[ = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha \] \[ = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \] \[ = 1 \] 2) Ta có: \[ \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \] \[ = \left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \right)^2 \] \[ = \tan^2\alpha \] \[ = \frac{1}{\cot^2\alpha} \] Điều này chứng minh các đẳng thức đã cho. Câu 2357. Để tính các giá trị của $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, và $\cot \alpha$ khi biết $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\cos \alpha$: Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ vào công thức trên: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{8}{9} \] Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\cos \alpha$ là giá trị dương: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 2. Tìm giá trị của $\tan \alpha$: Ta biết rằng: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Thay $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ vào công thức trên: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] 3. Tìm giá trị của $\cot \alpha$: Ta biết rằng: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \] Thay $\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$ vào công thức trên: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Vậy các giá trị cần tìm là: \[ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \quad \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}, \quad \cot \alpha = 2\sqrt{2} \] Câu 2358. Để tính các giá trị của $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, và $\cot \alpha$ khi biết $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\cos \alpha$: Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ vào công thức trên: \[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\cos \alpha$ là giá trị dương: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] 2. Tìm giá trị của $\tan \alpha$: Ta biết rằng: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Thay $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ vào công thức trên: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \] 3. Tìm giá trị của $\cot \alpha$: Ta biết rằng: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \] Thay $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ vào công thức trên: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] Vậy các giá trị cần tìm là: \[ \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}, \quad \cot \alpha = \frac{4}{3} \] Câu 2359. Để tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc $\alpha$ khi biết một tỉ số lượng giác, chúng ta sẽ sử dụng các mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác cơ bản. Giả sử ta biết $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Ta sẽ tính $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, và $\cot \alpha$. 1. Tính $\cos \alpha$: Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ vào: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\cos \alpha$ là số dương: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] 2. Tính $\tan \alpha$: Ta biết rằng: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Thay $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ vào: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] 3. Tính $\cot \alpha$: Ta biết rằng: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \] Thay $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ vào: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] Vậy các tỉ số lượng giác còn lại của góc $\alpha$ là: \[ \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}, \quad \cot \alpha = \frac{4}{3} \]