Giải bài tập

Câu 8. Để tính $\int(e^{-x} + 6 \cdot 5^x + 8) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này. 1. Tính $\int e^{-x} \, dx$: \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C_1 \] 2. Tính $\int 6 \cdot 5^x \, dx$: \[ \int 6 \cdot 5^x \, dx = 6 \int 5^x \, dx = 6 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C_2 \] 3. Tính $\int 8 \, dx$: \[ \int 8 \, dx = 8x + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int(e^{-x} + 6 \cdot 5^x + 8) \, dx = -e^{-x} + 6 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + 8x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2 + C_3$ là hằng số tích phân tổng quát. Vậy đáp án đúng là: \[ A. -e^{-x} + \frac{6 \cdot 5^x}{\ln 5} + 8x + C \] Câu 9. Để tính $\int(-\sin x - 5\cos x + 7)dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này. 1. Tính $\int -\sin x dx$: \[ \int -\sin x dx = -\int \sin x dx = -(-\cos x) = \cos x \] 2. Tính $\int -5\cos x dx$: \[ \int -5\cos x dx = -5 \int \cos x dx = -5(\sin x) = -5\sin x \] 3. Tính $\int 7 dx$: \[ \int 7 dx = 7x \] Gộp lại, ta có: \[ \int(-\sin x - 5\cos x + 7)dx = \cos x - 5\sin x + 7x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\cos x - 5\sin x + 7x + C \] Câu 10. Để tính $\int(7\sin x + 7\cos x + x + 8)dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này. 1. Tính $\int 7\sin x dx$: \[ \int 7\sin x dx = 7 \int \sin x dx = -7\cos x + C_1 \] 2. Tính $\int 7\cos x dx$: \[ \int 7\cos x dx = 7 \int \cos x dx = 7\sin x + C_2 \] 3. Tính $\int x dx$: \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_3 \] 4. Tính $\int 8 dx$: \[ \int 8 dx = 8x + C_4 \] Gộp tất cả các kết quả lại, ta có: \[ \int(7\sin x + 7\cos x + x + 8)dx = -7\cos x + 7\sin x + \frac{x^2}{2} + 8x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ là hằng số tích phân tổng quát. Vậy đáp án đúng là: \[ A. -7\cos x + 7\sin x + \frac{1}{2}x^2 + 8x + C \] Câu 11. Để tính $\int(3\sin2x + 3\cos6x - 2)dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này. 1. Tính $\int 3\sin2x \, dx$: \[ \int 3\sin2x \, dx = 3 \int \sin2x \, dx \] Sử dụng công thức $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$, ta có: \[ 3 \int \sin2x \, dx = 3 \left(-\frac{1}{2} \cos2x\right) = -\frac{3}{2} \cos2x \] 2. Tính $\int 3\cos6x \, dx$: \[ \int 3\cos6x \, dx = 3 \int \cos6x \, dx \] Sử dụng công thức $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$, ta có: \[ 3 \int \cos6x \, dx = 3 \left(\frac{1}{6} \sin6x\right) = \frac{3}{6} \sin6x = \frac{1}{2} \sin6x \] 3. Tính $\int -2 \, dx$: \[ \int -2 \, dx = -2x + C \] Gộp tất cả các kết quả lại, ta có: \[ \int(3\sin2x + 3\cos6x - 2)dx = -\frac{3}{2} \cos2x + \frac{1}{2} \sin6x - 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~-\frac{3}{2}\cos2x + \frac{1}{2}\sin6x - 2x + C \]