Giải bài tập

Câu 21. Để giải phương trình $\log_5(-3x^2 + 4) = 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình $\log_5(-3x^2 + 4) = 1$ có nghĩa là $-3x^2 + 4 > 0$. Ta giải bất phương trình này: \[ -3x^2 + 4 > 0 \\ 3x^2 < 4 \\ x^2 < \frac{4}{3} \\ -\frac{2}{\sqrt{3}} < x < \frac{2}{\sqrt{3}} \] Bước 2: Giải phương trình logarit Ta có: \[ \log_5(-3x^2 + 4) = 1 \] Điều này tương đương với: \[ -3x^2 + 4 = 5^1 \\ -3x^2 + 4 = 5 \\ -3x^2 = 1 \\ x^2 = -\frac{1}{3} \] Bước 3: Kiểm tra lại điều kiện xác định Phương trình $x^2 = -\frac{1}{3}$ không có nghiệm thực vì $x^2$ luôn dương hoặc bằng 0, không thể bằng một số âm. Do đó, phương trình $\log_5(-3x^2 + 4) = 1$ không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện xác định. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là rỗng, tức là không có nghiệm. Đáp án đúng là: B. 0 Câu 22. Để giải phương trình $\log_3(x^2-9x+20)=\log_3(-x+5)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình $\log_3(x^2-9x+20)=\log_3(-x+5)$ có nghĩa khi: \[ x^2 - 9x + 20 > 0 \] \[ -x + 5 > 0 \] Giải bất phương trình $x^2 - 9x + 20 > 0$: \[ x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) > 0 \] Vậy $x < 4$ hoặc $x > 5$. Giải bất phương trình $-x + 5 > 0$: \[ -x + 5 > 0 \Rightarrow x < 5 \] Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ: \[ x < 4 \text{ hoặc } x > 5 \text{ và } x < 5 \] Do đó, ĐKXĐ là: \[ x < 4 \] Bước 2: Giải phương trình Vì $\log_3(x^2-9x+20)=\log_3(-x+5)$, suy ra: \[ x^2 - 9x + 20 = -x + 5 \] Rearrange the equation: \[ x^2 - 9x + 20 + x - 5 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Factorize the quadratic equation: \[ (x - 3)(x - 5) = 0 \] Solving for $x$, we get: \[ x = 3 \text{ hoặc } x = 5 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định - Với $x = 3$: Thỏa mãn điều kiện $x < 4$. - Với $x = 5$: Không thỏa mãn điều kiện $x < 4$. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ \{3\} \] Đáp án đúng là: C. {3}. Câu 23. Để giải phương trình $(\frac{2}{3})^{-6x+2} \cdot (\frac{3}{2})^{-2x-1} = (\frac{3}{2})^{x^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi các phân số thành cùng cơ số: $(\frac{2}{3})^{-6x+2} = (\frac{3}{2})^{6x-2}$ Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu: $(\frac{3}{2})^{6x-2} \cdot (\frac{3}{2})^{-2x-1} = (\frac{3}{2})^{x^2}$ Bước 3: Cộng các mũ lại với nhau: $(\frac{3}{2})^{(6x-2) + (-2x-1)} = (\frac{3}{2})^{x^2}$ $(\frac{3}{2})^{4x-3} = (\frac{3}{2})^{x^2}$ Bước 4: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: $4x - 3 = x^2$ Bước 5: Chuyển tất cả về một vế để lập phương trình bậc hai: $x^2 - 4x + 3 = 0$ Bước 6: Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình: $x^2 - 4x + 3 = 0$ $(x - 1)(x - 3) = 0$ Bước 7: Tìm nghiệm của phương trình: $x - 1 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$ $x = 1$ hoặc $x = 3$ Bước 8: Tính tổng các nghiệm: Tổng các nghiệm là $1 + 3 = 4$ Vậy đáp án đúng là: A. 4 Câu 24. Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Phương trình đã cho là: \[ 2\log_2(8x) + 3\log_{\sqrt{2}}x + 5\log_{\frac{1}{2}}x = 12. \] Chúng ta sẽ chuyển đổi các biểu thức logarit về cùng cơ số 2: \[ \log_2(8x) = \log_2(8) + \log_2(x) = 3 + \log_2(x). \] \[ \log_{\sqrt{2}}x = \frac{\log_2(x)}{\log_2(\sqrt{2})} = \frac{\log_2(x)}{\frac{1}{2}} = 2\log_2(x). \] \[ \log_{\frac{1}{2}}x = \frac{\log_2(x)}{\log_2(\frac{1}{2})} = \frac{\log_2(x)}{-1} = -\log_2(x). \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ 2(3 + \log_2(x)) + 3(2\log_2(x)) + 5(-\log_2(x)) = 12. \] Mở ngoặc và gom các hạng tử liên quan đến \(\log_2(x)\): \[ 6 + 2\log_2(x) + 6\log_2(x) - 5\log_2(x) = 12. \] Gộp các hạng tử: \[ 6 + 3\log_2(x) = 12. \] Giải phương trình này: \[ 3\log_2(x) = 6. \] \[ \log_2(x) = 2. \] Do đó: \[ x = 2^2 = 4. \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 4 \). Đáp án đúng là: \( C.~x=4 \). Câu 25. Để giải phương trình $3 \cdot 2^{x+1} + 4 \cdot 2^{x-1} - 2^x = 112$, ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn các hạng tử chứa $2^x$: Ta có: \[ 3 \cdot 2^{x+1} = 3 \cdot 2 \cdot 2^x = 6 \cdot 2^x, \] \[ 4 \cdot 2^{x-1} = 4 \cdot \frac{2^x}{2} = 2 \cdot 2^x. \] 2. Thay vào phương trình: \[ 6 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - 2^x = 112. \] 3. Gộp các hạng tử chứa $2^x$: \[ (6 + 2 - 1) \cdot 2^x = 112, \] \[ 7 \cdot 2^x = 112. \] 4. Giải phương trình: \[ 2^x = \frac{112}{7}, \] \[ 2^x = 16. \] 5. Xác định giá trị của $x$: Ta nhận thấy rằng $16 = 2^4$, do đó: \[ 2^x = 2^4 \implies x = 4. \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$. Đáp án đúng là: $A.~x=4$.