sos tiếp mn

Câu 13: Để giải quyết các mệnh đề trong câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp của hàm số. (a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = \frac{x^2 - 2x}{x + 1}$. - Ta có $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$. - Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 2)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] Do đó, mệnh đề (a) sai vì đạo hàm đúng là $y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$. (b) Giá trị cực đại của hàm số bằng -2. - Để tìm giá trị cực đại, ta cần giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng $( -\infty, 0 )$, $( 0, 1 )$, $( 1, 2 )$, $( 2, +\infty )$ để xác định cực đại và cực tiểu. - Khi $x < 0$: $y' > 0$ - Khi $0 < x < 1$: $y' < 0$ - Khi $1 < x < 2$: $y' < 0$ - Khi $x > 2$: $y' > 0$ Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Thay vào hàm số: \[ y(2) = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = 2 \] Do đó, mệnh đề (b) sai vì giá trị cực đại không phải là -2. (c) Điểm cực tiểu của hàm số bằng 0. - Như trên đã chứng minh, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và giá trị cực tiểu là 2. Do đó, mệnh đề (c) sai vì điểm cực tiểu không phải là 0. (d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là $y = 2x - 2$. - Như trên đã chứng minh, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và giá trị cực tiểu là 2. Do đó, điểm cực tiểu là $(2, 2)$. Do đó, mệnh đề (d) sai vì không có hai điểm cực trị để xác định đường thẳng. Câu 14: Để giải quyết các mệnh đề trong câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp của hình học không gian. (a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là $(-2;3;1)$. - Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là $(0;3;0)$. Do đó, mệnh đề (a) sai vì hình chiếu đúng là $(0;3;0)$. (b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $(-4;-1;3)$. - Ta có $M(2;3;-1)$ và $N(-1;1;1)$. - Tọa độ của điểm E là: \[ E = 2N - M = 2(-1;1;1) - (2;3;-1) = (-2;2;2) - (2;3;-1) = (-4;-1;3) \] Do đó, mệnh đề (b) đúng. (c) Cho $P(1;m-1;3)$. Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi $m = 1$. - Ta có $M(2;3;-1)$, $N(-1;1;1)$, $P(1;m-1;3)$. - Vector $\overrightarrow{NM} = (3;2;-2)$. - Vector $\overrightarrow{NP} = (2;m-2;2)$. - Điều kiện tam giác MNP vuông tại N là $\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = 0$: \[ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (m-2) + (-2) \cdot 2 = 0 \] \[ 6 + 2m - 4 - 4 = 0 \] \[ 2m - 2 = 0 \] \[ m = 1 \] Do đó, mệnh đề (c) đúng. (d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$. - Ta có $M(2;3;-1)$, $N(-1;1;1)$, $I(a;b;0)$. - Vector $\overrightarrow{IM} = (2-a;3-b;-1)$. - Vector $\overrightarrow{IN} = (-1-a;1-b;1)$. - Vector $3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} = (6-3a;9-3b+1-b;-3-1) = (6-3a;10-4b;-4)$. - Độ dài vector này là: \[ T = \sqrt{(6-3a)^2 + (10-4b)^2 + (-4)^2} \] Để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần $(6-3a)^2 + (10-4b)^2$ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $6-3a = 0$ và $10-4b = 0$: \[ 6-3a = 0 \Rightarrow a = 2 \] \[ 10-4b = 0 \Rightarrow b = \frac{5}{2} \] Do đó, $2a + b + c = 2 \cdot 2 + \frac{5}{2} + 0 = 4 + \frac{5}{2} = \frac{13}{2}$. Do đó, mệnh đề (d) sai vì $2a + b + c \neq 9$.