giai giup toi

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 3^x \): 1. Xác định \( a = 3 \). 2. Tính \( \ln 3 \). Do đó, nguyên hàm của \( 3^x \) là: \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{3^x}{\ln 3} + C \] Đáp án: \( A.~\frac{3^x}{\ln 3} + C \) Câu 2. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta cần sử dụng công thức tích phân để tính diện tích giữa hai đường cong. Công thức chính xác để tính diện tích này là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Giải thích từng bước: 1. Xác định khoảng tích phân: Khoảng tích phân từ \( a \) đến \( b \) là đoạn trên trục \( x \) giới hạn bởi hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). 2. Tính hiệu giữa hai hàm số: Ta cần tính hiệu giữa hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \). Điều này cho biết khoảng cách dọc theo trục \( y \) giữa hai đường cong tại mỗi điểm \( x \). 3. Lấy giá trị tuyệt đối: Vì diện tích là một đại lượng dương, ta lấy giá trị tuyệt đối của hiệu này để đảm bảo rằng diện tích luôn dương, bất kể \( f(x) \) lớn hơn hay nhỏ hơn \( g(x) \). 4. Tích phân: Cuối cùng, ta tích phân hiệu này từ \( a \) đến \( b \) để tính tổng diện tích giữa hai đường cong trong khoảng đó. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Câu 3. Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 3 + 8 + 7 + 12 + 7 + 1 + 1 = 41 học sinh. 2. Xác định vị trí của tứ phân vị thứ nhất: Vị trí của Q1 = $\frac{n}{4} = \frac{41}{4} = 10,25$ (vị trí thứ 10,25). 3. Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất: - Nhóm [3;4) có 3 học sinh. - Nhóm [4;5) có 8 học sinh, tổng là 3 + 8 = 11 học sinh. Vì 10,25 nằm trong khoảng từ 3 đến 11, nên Q1 thuộc nhóm [4;5). 4. Áp dụng công thức tính tứ phân vị trong nhóm ghép: Q1 = $x_{l} + \frac{\frac{n}{4} - F_{l}}{f_{i}} \times d_{i}$ Trong đó: - $x_{l}$ là cận dưới của nhóm chứa Q1: 4. - $\frac{n}{4}$ là vị trí của Q1: 10,25. - $F_{l}$ là tổng số học sinh của các nhóm trước nhóm chứa Q1: 3. - $f_{i}$ là số học sinh của nhóm chứa Q1: 8. - $d_{i}$ là khoảng cách của nhóm chứa Q1: 5 - 4 = 1. Thay vào công thức: Q1 = $4 + \frac{10,25 - 3}{8} \times 1$ = $4 + \frac{7,25}{8}$ = $4 + 0,90625$ = 4,90625 Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: Q1 ≈ 4,91. Vậy đáp án đúng là: A. 4,84 (sai) B. 2,10 (sai) C. 2,09 (sai) D. 6,94 (sai) Đáp án chính xác là: 4,91. Câu 4. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (a, b, c) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Trong bài này, điểm \( M(2, 0, -1) \) và vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (4, -6, 2) \). Áp dụng công thức trên, ta có phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = 0 - 6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 2t \\ y = -3t \\ z = 1 + t \end{array} \right. \) - Phương án B: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \) - Phương án C: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 2t \\ y = -3t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \) - Phương án D: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 4t \\ y = -6t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \) Phương án đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 5. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) và khi \( x \) tiến đến âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của \( f(x) \) tiến gần đến 2. - Khi \( x \to -\infty \), giá trị của \( f(x) \) cũng tiến gần đến 2. Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \] Như vậy, đường thẳng \( y = 2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Đáp án đúng là: \( C.~y=2 \).