Đáp án đúng

Câu 9. Để tính $\int^5_{-2}[f(x)-4g(x)-1]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Ta có: \[ \int^5_{-2}[f(x)-4g(x)-1]dx = \int^5_{-2}f(x)dx - 4\int^5_{-2}g(x)dx - \int^5_{-2}1dx \] Biết rằng: \[ \int^5_{-2}f(x)dx = 8 \] \[ \int^5_{-2}g(x)dx = -3 \] Tính $\int^5_{-2}1dx$: \[ \int^5_{-2}1dx = [x]^5_{-2} = 5 - (-2) = 7 \] Thay các giá trị vào biểu thức: \[ \int^5_{-2}[f(x)-4g(x)-1]dx = 8 - 4(-3) - 7 \] \[ = 8 + 12 - 7 \] \[ = 13 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~I=13. \] Câu 10. Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 2z - 3 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho mỗi biến. - Với $x$: Ta có $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ - Với $y$: Ta có $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ - Với $z$: Ta có $z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1$ Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 - 3 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta thấy rằng: \[ R^2 = 9 \] \[ R = \sqrt{9} = 3 \] Vậy bán kính của mặt cầu là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 11. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{A'D'}) = 90^\circ$: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ đi từ A đến B, nằm trên mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{A'D'}$ là vectơ đi từ A' đến D', nằm trên mặt đáy A'B'C'D'. - Vì ABCD và A'B'C'D' là hai mặt đáy song song của hình lập phương, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'D'}$ cùng phương hoặc vuông góc với nhau. Trong trường hợp này, chúng cùng phương, do đó góc giữa chúng là 0°, không phải 90°. Vậy khẳng định này là sai. B. $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{A'C'}) = 45^\circ$: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ đi từ A đến B, nằm trên mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{A'C'}$ là vectơ đi từ A' đến C', nằm trên đường chéo của mặt đáy A'B'C'D'. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ là góc giữa một cạnh của mặt đáy và đường chéo của mặt đáy, do đó góc này là 45°. Vậy khẳng định này là đúng. C. $(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{B'D'}) = 90^\circ$: - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ đi từ A đến C, nằm trên đường chéo của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{B'D'}$ là vectơ đi từ B' đến D', nằm trên đường chéo của mặt đáy A'B'C'D'. - Vì AC và B'D' là hai đường chéo của hai mặt đáy song song của hình lập phương, nên chúng vuông góc với nhau. Vậy khẳng định này là đúng. D. $(\overrightarrow{A'A}; \overrightarrow{CB'}) = 45^\circ$: - $\overrightarrow{A'A}$ là vectơ đi từ A' đến A, nằm dọc theo chiều cao của hình lập phương. - $\overrightarrow{CB'}$ là vectơ đi từ C đến B', nằm trên đường chéo của mặt bên CBB'C'. - Góc giữa $\overrightarrow{A'A}$ và $\overrightarrow{CB'}$ là góc giữa chiều cao của hình lập phương và đường chéo của mặt bên, do đó góc này là 45°. Vậy khẳng định này là đúng. Kết luận: Khẳng định sai là A. $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{A'D'}) = 90^\circ$. Câu 12. Mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-1)$ và chứa trục $Oy$ sẽ có dạng phương trình $ax + by + cz = d$. Vì mặt phẳng này chứa trục $Oy$, nên nó sẽ song song với trục $Oy$. Điều này có nghĩa là mọi điểm trên trục $Oy$ đều thuộc mặt phẳng này. Trên trục $Oy$, tọa độ của các điểm có dạng $(0, y, 0)$. Do đó, phương trình mặt phẳng phải thoả mãn điều kiện này. Thay tọa độ của điểm $A(1;2;-1)$ vào phương trình mặt phẳng ta có: \[ a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = d \] \[ a + 2b - c = d \] Vì mặt phẳng này chứa trục $Oy$, nên thay tọa độ của điểm $(0, y, 0)$ vào phương trình mặt phẳng ta có: \[ a \cdot 0 + b \cdot y + c \cdot 0 = d \] \[ by = d \] Điều này có nghĩa là $d = 0$ (vì $y$ có thể là bất kỳ giá trị nào). Do đó, phương trình mặt phẳng trở thành: \[ ax + by + cz = 0 \] Thay lại tọa độ của điểm $A(1;2;-1)$ vào phương trình này ta có: \[ a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = 0 \] \[ a + 2b - c = 0 \] Ta thấy rằng phương trình này phải thoả mãn điều kiện trên. Để đơn giản hóa, ta có thể chọn $a = 1$ và $c = 1$, thì phương trình trở thành: \[ x + 2b - z = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ x + z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x + z = 0 \] Câu 13. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt tính toán xác suất của các biến cố liên quan dựa trên thông tin đã cho. a) Xác suất của biến cố B: \[ P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0,2 = 0,8 \] b) Kiểm tra xem A và B có phải là hai biến cố độc lập hay không: Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Ta có: \[ P(A) \cdot P(B) = 0,6 \cdot 0,8 = 0,48 \] Mà: \[ P(AB) = 0,42 \] Vì \(0,42 \neq 0,48\), nên A và B không phải là hai biến cố độc lập. c) Xác suất của biến cố $\overline{A}B$: \[ P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) = 0,8 - 0,42 = 0,38 \] d) Xác suất của biến cố B cho biết $\overline{A}$ xảy ra: \[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} \] Trước tiên, ta tính xác suất của $\overline{A}$: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4 \] Sau đó, ta tính xác suất của B cho biết $\overline{A}$ xảy ra: \[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} = \frac{0,38}{0,4} = 0,95 \] Tóm lại, các kết quả là: a) \( P(B) = 0,8 \) b) A và B không phải là hai biến cố độc lập. c) \( P(\overline{A}B) = 0,38 \) d) \( P(B|\overline{A}) = 0,95 \) Câu 14. a) Máy bay đang ở độ cao 9 km. - Đúng vì tọa độ z của máy bay là 9. b) Tọa độ của máy bay (300;150;9). - Đúng vì tọa độ x, y, z của máy bay lần lượt là 300, 150 và 9. c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động với vận tốc theo hướng đông là 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng đông với vận tốc 10 m/s. Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì lúc 10h30 phút máy bay ở tọa độ (150;1086;9). - Vận tốc gió thổi theo hướng đông là 10 m/s = 36 km/h. - Tổng vận tốc máy bay theo hướng đông là 750 + 36 = 786 km/h. - Thời gian từ 9h30 đến 10h30 là 1 giờ. - Quãng đường máy bay bay được trong 1 giờ là 786 km. - Tọa độ x mới của máy bay là 300 + 786 = 1086. - Tọa độ y không đổi là 150. - Tọa độ z không đổi là 9. - Vậy tọa độ của máy bay lúc 10h30 là (1086;150;9). - Khẳng định này sai vì tọa độ máy bay lúc 10h30 là (1086;150;9), không phải (150;1086;9). d) Sau khi bay đến vị trí lúc 10h30 thì máy bay bay ngược lại với vận tốc 800 km/h với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay ở tọa độ (686;150;9). - Thời gian từ 10h30 đến 11h là 0,5 giờ. - Quãng đường máy bay bay ngược lại trong 0,5 giờ là 800 0,5 = 400 km. - Tọa độ x mới của máy bay là 1086 - 400 = 686. - Tọa độ y không đổi là 150. - Tọa độ z không đổi là 9. - Vậy tọa độ của máy bay lúc 11h là (686;150;9). - Khẳng định này đúng. Đáp số: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tính khoảng cách IA và IB Trước tiên, ta cần xác định khoảng cách từ điểm I đến các điểm A và B. Vì điểm C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, nên AC = BC và góc AMC = 90°. Ta có: - \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ km} \) - \( IM = x \) Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác IAM: \[ IA = IB = \sqrt{AM^2 + IM^2} = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{16 + x^2} \] b) Tính tổng độ dài đường ống IA + IB + IC Tổng độ dài đường ống từ hai nhà máy A và B đến nhà máy xử lý nước thải C là: \[ IA + IB + IC = 2 \cdot IA + IC \] \[ IA = \sqrt{16 + x^2} \] \[ IC = MC - IM = 3 - x \] Do đó: \[ IA + IB + IC = 2 \sqrt{16 + x^2} + (3 - x) \] c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường ống Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường ống, ta cần tính đạo hàm của biểu thức \( f(x) = 2 \sqrt{16 + x^2} + 3 - x \) và tìm giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{16 + x^2}} - 1 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{16 + x^2}} - 1 = 0 \] \[ 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{16 + x^2}} = 1 \] \[ \frac{2x}{\sqrt{16 + x^2}} = 1 \] \[ 2x = \sqrt{16 + x^2} \] \[ 4x^2 = 16 + x^2 \] \[ 3x^2 = 16 \] \[ x^2 = \frac{16}{3} \] \[ x = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \approx 2.31 \] Thay \( x = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \) vào biểu thức tổng độ dài đường ống: \[ IA + IB + IC = 2 \sqrt{16 + \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = 2 \sqrt{16 + \frac{16}{3}} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = 2 \sqrt{\frac{48 + 16}{3}} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = 2 \sqrt{\frac{64}{3}} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = \frac{16}{\sqrt{3}} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = \frac{16 \sqrt{3}}{3} + 3 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] \[ = \frac{12 \sqrt{3}}{3} + 3 \] \[ = 4 \sqrt{3} + 3 \] \[ \approx 4 \cdot 1.732 + 3 \] \[ \approx 6.928 + 3 \] \[ \approx 9.928 \] Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất là khoảng 9.9 km (làm tròn đến hàng phần chục). d) Góc AIB khi tổng độ dài đường ống nhỏ nhất Khi tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, ta có \( x = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \). Ta cần kiểm tra góc \( \angle AIB \). Trong tam giác IAM, ta có: \[ \cos(\angle IAM) = \frac{AM}{IA} = \frac{4}{\sqrt{16 + \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2}} = \frac{4}{\sqrt{\frac{64}{3}}} = \frac{4}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{4 \sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, \( \angle IAM = 30^\circ \). Vì \( IA = IB \), tam giác IAM và IBM là tam giác cân, do đó \( \angle AIB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \). Tuy nhiên, vì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, góc \( \angle AIB \) sẽ là \( 120^\circ \) (do tính chất của tam giác cân và đường trung trực). Vậy góc \( \angle AIB = 120^\circ \). Đáp số: a) \( IA = IB = \sqrt{16 + x^2} \) b) \( IA + IB + IC = 2 \sqrt{16 + x^2} + 3 - x \) c) Tổng độ dài đường ống nhỏ nhất là 9.9 km d) Góc \( \angle AIB = 120^\circ \) Câu 16. Để lập luận từng bước về việc nồng độ chất A thay đổi theo thời gian trong phản ứng hóa học từ chất A chuyển hóa thành chất B, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tốc độ phản ứng: - Gọi tốc độ phản ứng là \( v \). Tốc độ phản ứng này phụ thuộc vào nồng độ của chất A, tức là \( v = k \cdot y(x) \), trong đó \( k \) là hằng số tốc độ phản ứng. 2. Liên hệ giữa tốc độ phản ứng và nồng độ: - Tốc độ phản ứng \( v \) cũng có thể được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của nồng độ chất A theo thời gian, tức là \( v = -\frac{dy}{dt} \). Dấu trừ xuất hiện vì nồng độ chất A giảm đi theo thời gian. 3. Phương trình vi phân: - Kết hợp hai biểu thức trên, ta có: \[ -\frac{dy}{dt} = k \cdot y(x) \] - Điều này dẫn đến phương trình vi phân: \[ \frac{dy}{dt} = -k \cdot y(x) \] 4. Giải phương trình vi phân: - Phương trình vi phân này là phương trình vi phân bậc nhất, tuyến tính và có thể giải bằng phương pháp tách biến: \[ \frac{dy}{y} = -k \, dt \] - Tích phân cả hai vế: \[ \int \frac{dy}{y} = -k \int dt \] \[ \ln |y| = -kt + C \] - Chuyển về dạng mũ: \[ y = e^{-kt + C} = e^C \cdot e^{-kt} \] - Gọi \( e^C = y_0 \) (nồng độ ban đầu của chất A): \[ y(x) = y_0 \cdot e^{-kt} \] 5. Kết luận: - Nồng độ chất A theo thời gian \( x \) được biểu diễn bởi công thức: \[ y(x) = y_0 \cdot e^{-kt} \] - Trong đó: - \( y_0 \) là nồng độ ban đầu của chất A. - \( k \) là hằng số tốc độ phản ứng. - \( t \) là thời gian. Như vậy, nồng độ chất A giảm theo hàm mũ với thời gian, và biểu thức chính xác là \( y(x) = y_0 \cdot e^{-kt} \).