giúp e vs ạ

Câu 12: Phương sai luôn luôn là số không âm, do đó khẳng định A đúng. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn, do đó khẳng định B đúng. Phương sai càng lớn thì độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình càng lớn, do đó khẳng định C đúng. Phương sai luôn luôn lớn hơn độ lệch chuẩn, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, nếu độ lệch chuẩn là 0,5 thì phương sai sẽ là 0,25, tức là phương sai nhỏ hơn độ lệch chuẩn. Do đó, khẳng định D sai. Vậy khẳng định sai là D. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a) Tìm hàm số $Q(t)$ Hàm số $Q'(t) = 4t^3 - 72t^2 + 288t$ là đạo hàm của hàm số $Q(t)$. Để tìm $Q(t)$, ta thực hiện nguyên hàm của $Q'(t)$. \[ Q(t) = \int Q'(t) \, dt = \int (4t^3 - 72t^2 + 288t) \, dt \] Ta tính nguyên hàm từng hạng tử: \[ Q(t) = \int 4t^3 \, dt - \int 72t^2 \, dt + \int 288t \, dt \] \[ Q(t) = 4 \cdot \frac{t^4}{4} - 72 \cdot \frac{t^3}{3} + 288 \cdot \frac{t^2}{2} + C \] \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + C \] Biết rằng sau 2 giờ đã có 500 người có mặt, tức là $Q(2) = 500$. Ta thay vào để tìm hằng số $C$: \[ Q(2) = 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 144 \cdot 2^2 + C = 500 \] \[ 16 - 192 + 576 + C = 500 \] \[ 392 + C = 500 \] \[ C = 108 \] Vậy hàm số $Q(t)$ là: \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108 \] Phần b) Tìm lượng khách tham quan sau 5 giờ Thay $t = 5$ vào hàm số $Q(t)$: \[ Q(5) = 5^4 - 24 \cdot 5^3 + 144 \cdot 5^2 + 108 \] \[ Q(5) = 625 - 24 \cdot 125 + 144 \cdot 25 + 108 \] \[ Q(5) = 625 - 3000 + 3600 + 108 \] \[ Q(5) = 1325 \] Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người. Phần c) Tìm lượng khách tham quan lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $Q(t)$ trên đoạn $[0, 13]$, ta cần tìm các điểm cực trị của $Q(t)$ bằng cách giải phương trình $Q'(t) = 0$: \[ Q'(t) = 4t^3 - 72t^2 + 288t = 0 \] \[ 4t(t^2 - 18t + 72) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t^2 - 18t + 72 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t^2 - 18t + 72 = 0 \] \[ t = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 72}}{2} \] \[ t = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 288}}{2} \] \[ t = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ t = \frac{18 \pm 6}{2} \] \[ t = 12 \quad \text{hoặc} \quad t = 6 \] Do đó, các điểm cực trị là $t = 0$, $t = 6$, và $t = 12$. Ta kiểm tra giá trị của $Q(t)$ tại các điểm này và tại biên $t = 13$: \[ Q(0) = 0^4 - 24 \cdot 0^3 + 144 \cdot 0^2 + 108 = 108 \] \[ Q(6) = 6^4 - 24 \cdot 6^3 + 144 \cdot 6^2 + 108 = 1296 \] \[ Q(12) = 12^4 - 24 \cdot 12^3 + 144 \cdot 12^2 + 108 = 108 \] \[ Q(13) = 13^4 - 24 \cdot 13^3 + 144 \cdot 13^2 + 108 = 108 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $Q(t)$ là 1296, đạt được khi $t = 6$. Phần d) Tìm thời điểm tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất Để tìm thời điểm tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $Q'(t)$. Ta tính đạo hàm của $Q'(t)$: \[ Q''(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 - 72t^2 + 288t) = 12t^2 - 144t + 288 \] Để tìm cực trị của $Q'(t)$, ta giải phương trình $Q''(t) = 0$: \[ 12t^2 - 144t + 288 = 0 \] \[ t^2 - 12t + 24 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 24}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} \] \[ t = 6 \pm 2\sqrt{3} \] Kiểm tra giá trị của $Q'(t)$ tại các điểm này và tại biên $t = 0$ và $t = 13$: \[ Q'(0) = 0 \] \[ Q'(6 - 2\sqrt{3}) = 4(6 - 2\sqrt{3})^3 - 72(6 - 2\sqrt{3})^2 + 288(6 - 2\sqrt{3}) \] \[ Q'(6 + 2\sqrt{3}) = 4(6 + 2\sqrt{3})^3 - 72(6 + 2\sqrt{3})^2 + 288(6 + 2\sqrt{3}) \] \[ Q'(13) = 4 \cdot 13^3 - 72 \cdot 13^2 + 288 \cdot 13 \] Sau khi tính toán, ta thấy giá trị lớn nhất của $Q'(t)$ đạt được tại $t = 6$. Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t = 6$. Đáp án: a) $Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108$ b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người. c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người, đạt được khi $t = 6$. d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t = 6$. Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Vào thời điểm \( t = 1 \) thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l). Ta thay \( t = 1 \) vào hàm số \( y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} \): \[ y(1) = 5 - \frac{15 \cdot 1}{9 \cdot 1^2 + 1} = 5 - \frac{15}{9 + 1} = 5 - \frac{15}{10} = 5 - 1,5 = 3,5 \] Vậy vào thời điểm \( t = 1 \), nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l). Đúng. b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước không vượt quá 5 (mg/l). Hàm số \( y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 5 vì phân số \( \frac{15t}{9t^2 + 1} \) luôn dương (khi \( t \geq 0 \)). Do đó, \( y(t) \leq 5 \). Đúng. c) Vào thời điểm \( t = 0 \) thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất. Ta thay \( t = 0 \) vào hàm số \( y(t) \): \[ y(0) = 5 - \frac{15 \cdot 0}{9 \cdot 0^2 + 1} = 5 - 0 = 5 \] Vậy vào thời điểm \( t = 0 \), nồng độ oxygen trong nước là 5 (mg/l), đây là giá trị lớn nhất của hàm số. Đúng. d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là 3,5 (mg/l). Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y(t) \), ta tính đạo hàm của \( y(t) \): \[ y'(t) = - \frac{d}{dt} \left( \frac{15t}{9t^2 + 1} \right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ y'(t) = - \frac{(15)(9t^2 + 1) - (15t)(18t)}{(9t^2 + 1)^2} = - \frac{135t^2 + 15 - 270t^2}{(9t^2 + 1)^2} = - \frac{-135t^2 + 15}{(9t^2 + 1)^2} = \frac{135t^2 - 15}{(9t^2 + 1)^2} \] Đặt \( y'(t) = 0 \): \[ \frac{135t^2 - 15}{(9t^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 135t^2 - 15 = 0 \] \[ 135t^2 = 15 \] \[ t^2 = \frac{15}{135} = \frac{1}{9} \] \[ t = \frac{1}{3} \text{ (vì } t \geq 0) \] Thay \( t = \frac{1}{3} \) vào hàm số \( y(t) \): \[ y\left(\frac{1}{3}\right) = 5 - \frac{15 \cdot \frac{1}{3}}{9 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1} = 5 - \frac{5}{1 + 1} = 5 - \frac{5}{2} = 5 - 2,5 = 2,5 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2,5 (mg/l), không phải 3,5 (mg/l). Sai. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước thấp nhất là 2,5 (mg/l). Câu 3: a) Tọa độ của điểm M là $(1;0;0).$ b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;0).$ c) Phương trình mặt phẳng (DMN): - Ta có vectơ $\overrightarrow{DM} = (1; -2; 0)$ và vectơ $\overrightarrow{DN} = (0; -1; 2)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DMN) là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{DN} = (4; 2; 1)$. - Phương trình mặt phẳng (DMN) đi qua điểm D(0; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (4; 2; 1)$ là: \[ 4(x - 0) + 2(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \] \[ 4x + 2y + z - 4 = 0 \] \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \] d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN): - Tọa độ của điểm C' là (2; 2; 2). - Khoảng cách từ điểm C'(2; 2; 2) đến mặt phẳng (DMN) là: \[ d = \frac{|4(2) + 2(2) + 1(2) - 4|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 4 + 2 - 4|}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{21}} = \frac{10\sqrt{21}}{21} \] Đáp án đúng là: d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac{10\sqrt{21}}{21}$. Câu 4: a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4 b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7 c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,25 d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là: \[ P(A) = P(D) \cdot P(A|D) + P(\overline{D}) \cdot P(A|\overline{D}) \] \[ P(A) = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,25 \] \[ P(A) = 0,28 + 0,15 \] \[ P(A) = 0,43 \] Đáp số: 0,43