Giải giúp mình

Câu 8. Trước tiên, ta cần xác định vị trí của các vectơ liên quan đến điểm M, trung điểm của CD trong hình chóp S.ABCD. 1. Vì M là trung điểm của CD, ta có: \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{MD} \] 2. Ta cũng biết rằng trong hình bình hành ABCD, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] 3. Ta cần tìm biểu thức của \(\overrightarrow{SM}\). Ta có thể viết \(\overrightarrow{SM}\) dưới dạng tổng của các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD. 4. Ta có: \[ \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{M} - \overrightarrow{S} = \overrightarrow{M} \] 5. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \] 6. Do đó: \[ \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{S} + \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} - \overrightarrow{S} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \] 7. Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{BC} \] 8. Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{SM}\): \[ \overrightarrow{SM} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} = \frac{(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{BC})}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{BC}}{2} \] 9. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} \] 10. Do đó: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2(\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB})}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{SC} - 2\overrightarrow{SB}}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{SC}}{2} - \overrightarrow{SB} \] 11. Kết luận: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC}) \] Vậy phát biểu đúng là: \[ A.~\overrightarrow{SM}=\frac12(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}). \] Câu 9. Để tìm tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( SABC \), ta cần xác định điểm \( I \) sao cho khoảng cách từ \( I \) đến các đỉnh \( S, A, B, C \) đều bằng nhau. Ta sẽ sử dụng tính chất trung trực của đoạn thẳng để xác định tâm \( I \). Bước 1: Xác định trung điểm của các cạnh của tứ diện \( SABC \): - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \), \( P \) là trung điểm của \( BC \), \( Q \) là trung điểm của \( SA \), \( R \) là trung điểm của \( SB \), \( T \) là trung điểm của \( SC \). Bước 2: Xác định các đường trung trực: - Đường trung trực của \( AB \) đi qua \( M \) và vuông góc với \( AB \). - Đường trung trực của \( AC \) đi qua \( N \) và vuông góc với \( AC \). - Đường trung trực của \( BC \) đi qua \( P \) và vuông góc với \( BC \). - Đường trung trực của \( SA \) đi qua \( Q \) và vuông góc với \( SA \). - Đường trung trực của \( SB \) đi qua \( R \) và vuông góc với \( SB \). - Đường trung trực của \( SC \) đi qua \( T \) và vuông góc với \( SC \). Bước 3: Tìm giao điểm của các đường trung trực: - Tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( SABC \) là giao điểm của ba đường trung trực bất kỳ trong số các đường trung trực đã xác định ở trên. Bước 4: Xác định tâm \( I \) thông qua phương trình vector: - Ta có thể sử dụng phương pháp vector để xác định tâm \( I \). Gọi \( I \) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( SABC \), ta có: \[ \overrightarrow{IS} = \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IC} \] Bước 5: Áp dụng điều kiện tâm \( I \): - Ta có thể viết phương trình vector của tâm \( I \) dựa trên các điều kiện trên. Gọi \( I \) có tọa độ \( (x, y, z) \), ta có: \[ \overrightarrow{IS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{I} \] \[ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{I} \] \[ \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{I} \] \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{I} \] Bước 6: Giải hệ phương trình: - Ta cần giải hệ phương trình để tìm tọa độ của \( I \). Điều này đòi hỏi việc sử dụng các phương pháp đại số và vector để tìm giao điểm của các đường trung trực. Kết luận: Tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( SABC \) là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tứ diện. Để tìm chính xác tọa độ của \( I \), ta cần giải hệ phương trình vector hoặc sử dụng các phương pháp đại số phù hợp. Câu 10. Câu hỏi: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có giá trị lớn nhất? A. \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) B. \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) C. \( h(x) = \frac{1}{x} \) D. \( k(x) = |x| \) Để tìm giá trị lớn nhất của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. A. \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) Hàm số này là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a < 0 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Ta tính đỉnh của parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). B. \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) Hàm số này là một hàm bậc ba. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ g'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \] Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( g'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \] Để xác định giá trị cực đại và cực tiểu, ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( g'(x) > 0 \) - Khi \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( g'(x) < 0 \) - Khi \( x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( g'(x) > 0 \) Vậy \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) là điểm cực đại và \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) là điểm cực tiểu. Hàm số không có giá trị lớn nhất vì nó có thể tăng không giới hạn khi \( x \to \infty \). C. \( h(x) = \frac{1}{x} \) Hàm số này là hàm phân thức. Khi \( x \to 0 \), \( h(x) \) tăng không giới hạn. Khi \( x \to \infty \), \( h(x) \to 0 \). Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất. D. \( k(x) = |x| \) Hàm số này là hàm trị tuyệt đối. Khi \( x \to \infty \), \( k(x) \to \infty \). Khi \( x \to -\infty \), \( k(x) \to \infty \). Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất. Kết luận: Chỉ có hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) có giá trị lớn nhất là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án đúng là: A. \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)