Giúp mình vs

Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SAC: - Ta biết rằng \( SC = \sqrt{5} \). - Mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, \( SA \perp AB \) và \( SB \perp BC \). 2. Tính diện tích tam giác ABC: - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \] 3. Tính diện tích tam giác SAC: - Diện tích tam giác SAC là: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC \] - Biết rằng \( AC = \sqrt{2} \) (vì ABCD là hình vuông cạnh 1). - Ta cần tìm \( SA \): \[ SA^2 + AB^2 = SB^2 \quad \text{(vì } SA \perp AB) \] \[ SA^2 + 1 = SB^2 \] - Biết rằng \( SB^2 + BC^2 = SC^2 \): \[ SB^2 + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad SB^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad SB = 2 \] - Thay vào: \[ SA^2 + 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad SA^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad SA = \sqrt{3} \] - Vậy diện tích tam giác SAC là: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] 4. Tính thể tích khối chóp SABCD: - Thể tích khối chóp SABCD là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 1 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 5. Tính thể tích khối chóp SACD: - Thể tích khối chóp SACD là: \[ V_{SACD} = \frac{1}{3} \times S_{SAC} \times d \] - Biết rằng \( V_{SABCD} = V_{SACD} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times d \] - Giải phương trình: \[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} \times d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} \] 6. Kết luận: - Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là: \[ d = \sqrt{2} \approx 1.41 \] Đáp số: Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là 1.41. Câu 3. Giả sử giá bán mỗi chiếc khăn tăng thêm $x$ nghìn đồng ($x \geq 0$). Số khăn bán được mỗi tháng sẽ giảm đi $100x$ chiếc. Do đó, số khăn bán được mỗi tháng là $3000 - 100x$ chiếc. Giá bán mỗi chiếc khăn sau khi tăng là $30 + x$ nghìn đồng. Lợi nhuận thu được từ việc bán mỗi chiếc khăn là $(30 + x - 18)$ nghìn đồng = $(12 + x)$ nghìn đồng. Lợi nhuận tổng cộng mỗi tháng là: \[ N(x) = (3000 - 100x)(12 + x) \] Phát triển biểu thức: \[ N(x) = 3000 \cdot 12 + 3000 \cdot x - 100x \cdot 12 - 100x^2 \] \[ N(x) = 36000 + 3000x - 1200x - 100x^2 \] \[ N(x) = 36000 + 1800x - 100x^2 \] Để tìm giá trị của $x$ sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta tính đạo hàm của $N(x)$ và tìm điểm cực đại: \[ N'(x) = 1800 - 200x \] Đặt $N'(x) = 0$: \[ 1800 - 200x = 0 \] \[ 200x = 1800 \] \[ x = 9 \] Kiểm tra dấu của $N''(x)$: \[ N''(x) = -200 \] Vì $N''(x) < 0$, nên $x = 9$ là điểm cực đại của $N(x)$. Vậy giá bán mỗi chiếc khăn để đạt lợi nhuận lớn nhất là: \[ 30 + 9 = 39 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: Giá bán mỗi chiếc khăn để đạt lợi nhuận lớn nhất là 39 nghìn đồng. Câu 4. Để tìm cách nối dây tối ưu nhất, ta cần tính tổng chiều dài dây điện sử dụng cho từng trường hợp nối khác nhau và chọn trường hợp có tổng chiều dài nhỏ nhất. Có thể có các cách nối như sau: 1. Nối trực tiếp từ N đến A, từ A đến B, từ B đến C. 2. Nối trực tiếp từ N đến A, từ A đến C, từ C đến B. 3. Nối trực tiếp từ N đến B, từ B đến A, từ A đến C. 4. Nối trực tiếp từ N đến B, từ B đến C, từ C đến A. 5. Nối trực tiếp từ N đến C, từ C đến A, từ A đến B. 6. Nối trực tiếp từ N đến C, từ C đến B, từ B đến A. Ta sẽ tính tổng chiều dài dây điện cho từng trường hợp: 1. Nối từ N đến A, từ A đến B, từ B đến C: - Chiều dài từ N đến A: 10 m - Chiều dài từ A đến B: 15 m - Chiều dài từ B đến C: 20 m Tổng chiều dài: 10 + 15 + 20 = 45 m 2. Nối từ N đến A, từ A đến C, từ C đến B: - Chiều dài từ N đến A: 10 m - Chiều dài từ A đến C: 25 m - Chiều dài từ C đến B: 10 m Tổng chiều dài: 10 + 25 + 10 = 45 m 3. Nối từ N đến B, từ B đến A, từ A đến C: - Chiều dài từ N đến B: 20 m - Chiều dài từ B đến A: 15 m - Chiều dài từ A đến C: 25 m Tổng chiều dài: 20 + 15 + 25 = 60 m 4. Nối từ N đến B, từ B đến C, từ C đến A: - Chiều dài từ N đến B: 20 m - Chiều dài từ B đến C: 20 m - Chiều dài từ C đến A: 25 m Tổng chiều dài: 20 + 20 + 25 = 65 m 5. Nối từ N đến C, từ C đến A, từ A đến B: - Chiều dài từ N đến C: 30 m - Chiều dài từ C đến A: 25 m - Chiều dài từ A đến B: 15 m Tổng chiều dài: 30 + 25 + 15 = 70 m 6. Nối từ N đến C, từ C đến B, từ B đến A: - Chiều dài từ N đến C: 30 m - Chiều dài từ C đến B: 20 m - Chiều dài từ B đến A: 15 m Tổng chiều dài: 30 + 20 + 15 = 65 m So sánh các tổng chiều dài trên, ta thấy trường hợp nối từ N đến A, từ A đến B, từ B đến C và trường hợp nối từ N đến A, từ A đến C, từ C đến B có tổng chiều dài nhỏ nhất là 45 m. Vậy cách nối dây tối ưu nhất là nối từ N đến A, từ A đến B, từ B đến C hoặc nối từ N đến A, từ A đến C, từ C đến B. Chiều dài dây điện cần dùng để nối là 45 m. Câu 5. Để tính xác suất trong hai viên bi lấy ra có bi trắng, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất lấy ra mỗi loại bi từ hộp 1: - Xác suất lấy ra 1 viên bi trắng từ hộp 1: \[ P(\text{bi trắng từ hộp 1}) = \frac{8}{11} \] - Xác suất lấy ra 1 viên bi đen từ hộp 1: \[ P(\text{bi đen từ hộp 1}) = \frac{3}{11} \] 2. Xác định tình huống sau khi chuyển bi từ hộp 1 sang hộp 2: - Nếu lấy ra 1 viên bi trắng từ hộp 1, hộp 2 sẽ có 11 bi trắng và 4 bi đen. - Nếu lấy ra 1 viên bi đen từ hộp 1, hộp 2 sẽ có 10 bi trắng và 5 bi đen. 3. Tính xác suất lấy ra 2 viên bi từ hộp 2 trong mỗi tình huống: - Tình huống 1: Hộp 2 có 11 bi trắng và 4 bi đen. - Tổng số cách chọn 2 viên bi từ hộp 2: \[ C_{15}^2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] - Số cách chọn 2 viên bi trắng: \[ C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55 \] - Số cách chọn 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen: \[ C_{11}^1 \times C_{4}^1 = 11 \times 4 = 44 \] - Xác suất lấy ra 2 viên bi đều trắng: \[ P(\text{2 bi trắng}) = \frac{55}{105} = \frac{11}{21} \] - Xác suất lấy ra 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen: \[ P(\text{1 trắng, 1 đen}) = \frac{44}{105} \] - Xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng: \[ P(\text{ít nhất 1 trắng}) = 1 - P(\text{2 bi đen}) = 1 - \frac{C_4^2}{C_{15}^2} = 1 - \frac{6}{105} = 1 - \frac{2}{35} = \frac{33}{35} \] - Tình huống 2: Hộp 2 có 10 bi trắng và 5 bi đen. - Tổng số cách chọn 2 viên bi từ hộp 2: \[ C_{15}^2 = 105 \] - Số cách chọn 2 viên bi trắng: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] - Số cách chọn 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen: \[ C_{10}^1 \times C_{5}^1 = 10 \times 5 = 50 \] - Xác suất lấy ra 2 viên bi đều trắng: \[ P(\text{2 bi trắng}) = \frac{45}{105} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} \] - Xác suất lấy ra 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen: \[ P(\text{1 trắng, 1 đen}) = \frac{50}{105} = \frac{10}{21} \] - Xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng: \[ P(\text{ít nhất 1 trắng}) = 1 - P(\text{2 bi đen}) = 1 - \frac{C_5^2}{C_{15}^2} = 1 - \frac{10}{105} = 1 - \frac{2}{21} = \frac{19}{21} \] 4. Tính tổng xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng từ hộp 2: - Xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng khi lấy ra 1 viên bi trắng từ hộp 1: \[ P(\text{ít nhất 1 trắng | 1 trắng từ hộp 1}) = \frac{33}{35} \] - Xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng khi lấy ra 1 viên bi đen từ hộp 1: \[ P(\text{ít nhất 1 trắng | 1 đen từ hộp 1}) = \frac{19}{21} \] - Tổng xác suất lấy ra ít nhất 1 viên bi trắng: \[ P(\text{ít nhất 1 trắng}) = P(\text{bi trắng từ hộp 1}) \times P(\text{ít nhất 1 trắng | 1 trắng từ hộp 1}) + P(\text{bi đen từ hộp 1}) \times P(\text{ít nhất 1 trắng | 1 đen từ hộp 1}) \] \[ P(\text{ít nhất 1 trắng}) = \left( \frac{8}{11} \times \frac{33}{35} \right) + \left( \frac{3}{11} \times \frac{19}{21} \right) \] \[ P(\text{ít nhất 1 trắng}) = \frac{264}{385} + \frac{57}{231} = \frac{264}{385} + \frac{95}{385} = \frac{359}{385} \approx 0.93 \] Vậy xác suất trong hai viên bi lấy ra có bi trắng là khoảng 0.93 hoặc 93%. Câu 6. Để tính diện tích của logo, ta cần xác định phương trình của hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ và sau đó tính diện tích giữa chúng. Bước 1: Xác định phương trình của hai parabol Từ hình vẽ, ta thấy: - Parabol $y = f(x)$ đi qua điểm $(0, 0)$ và $(2, 4)$. - Parabol $y = g(x)$ đi qua điểm $(0, 0)$ và $(2, -4)$. Ta giả sử phương trình của hai parabol có dạng: \[ y = ax^2 \] \[ y = bx^2 \] Thay tọa độ điểm $(2, 4)$ vào phương trình của $y = f(x)$: \[ 4 = a(2)^2 \] \[ 4 = 4a \] \[ a = 1 \] Do đó, phương trình của $y = f(x)$ là: \[ y = x^2 \] Thay tọa độ điểm $(2, -4)$ vào phương trình của $y = g(x)$: \[ -4 = b(2)^2 \] \[ -4 = 4b \] \[ b = -1 \] Do đó, phương trình của $y = g(x)$ là: \[ y = -x^2 \] Bước 2: Tính diện tích giữa hai parabol Diện tích giữa hai parabol từ $x = 0$ đến $x = 2$ được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{0}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] Thay phương trình của $f(x)$ và $g(x)$ vào: \[ A = \int_{0}^{2} [x^2 - (-x^2)] \, dx \] \[ A = \int_{0}^{2} [x^2 + x^2] \, dx \] \[ A = \int_{0}^{2} 2x^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ A = 2 \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] \[ A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ A = 2 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ A = 2 \left( \frac{8}{3} \right) \] \[ A = \frac{16}{3} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ A \approx 5.3 \] Vậy diện tích của logo là khoảng 5.3 decimét vuông.