Đáp án đúng

Câu 1. Để xác định hàm số nào là đạo hàm của hàm số \( F(x) = x^2 + x \), ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số đã cho và so sánh với \( F'(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = x^2 + x \] \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x) = 2x + 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm số đã cho: - \( f_1(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \) \[ f_1'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 + x \] - \( f_2(x) = x^3 + x^2 \) \[ f_2'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2) = 3x^2 + 2x \] - \( f_3(x) = 2x + 1 \) \[ f_3'(x) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) = 2 \] - \( f_4(x) = x + 1 \) \[ f_4'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) = 1 \] Bước 3: So sánh đạo hàm của các hàm số đã cho với \( F'(x) = 2x + 1 \): - \( f_1'(x) = x^2 + x \neq 2x + 1 \) - \( f_2'(x) = 3x^2 + 2x \neq 2x + 1 \) - \( f_3'(x) = 2 \neq 2x + 1 \) - \( f_4'(x) = 1 \neq 2x + 1 \) Như vậy, không có hàm số nào trong các lựa chọn đã cho có đạo hàm bằng \( 2x + 1 \). Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét lại, ta thấy rằng \( f_3(x) = 2x + 1 \) chính là đạo hàm của \( F(x) = x^2 + x \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~f_3(x) = 2x + 1 \] Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào bảng số liệu đã cho để tìm ra số học sinh xem ti vi trong khoảng thời gian từ 60 phút đến dưới 80 phút. Bảng số liệu: - Thời gian (phút): [0; 40), [40; 60), [60; 80), [80; 100) - Số học sinh: 5, 9, 12, 10, 6 Theo bảng số liệu, nhóm thời gian từ 60 phút đến dưới 80 phút có số học sinh là 12. Vậy đáp án đúng là: D. 10. Lập luận từng bước: 1. Xác định nhóm thời gian từ 60 phút đến dưới 80 phút trong bảng số liệu. 2. Tìm số học sinh tương ứng với nhóm thời gian đó. 3. Kết luận số học sinh xem ti vi từ 60 phút đến dưới 80 phút là 12. Đáp án: D. 10. Câu 3. Để tìm phương trình của mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(-1;0;0) \), \( B(0;3;0) \), và \( C(0;0;4) \), ta sẽ sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã biết. Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Ta thay tọa độ của ba điểm vào phương trình này để tìm các hệ số \( a \), \( b \), \( c \), và \( d \). 1. Thay tọa độ của điểm \( A(-1;0;0) \): \[ -a + d = 0 \] \[ d = a \] 2. Thay tọa độ của điểm \( B(0;3;0) \): \[ 3b + d = 0 \] \[ d = -3b \] 3. Thay tọa độ của điểm \( C(0;0;4) \): \[ 4c + d = 0 \] \[ d = -4c \] Từ ba phương trình trên, ta có: \[ a = -3b \] \[ a = -4c \] Chọn \( a = 12 \) (để dễ dàng tính toán), ta có: \[ b = -4 \] \[ c = -3 \] Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ 12x - 4y - 3z + d = 0 \] Thay lại \( d = a = 12 \): \[ 12x - 4y - 3z + 12 = 0 \] Chia cả phương trình cho 12 để đơn giản hóa: \[ x - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} + 1 = 0 \] Di chuyển 1 sang vế phải: \[ x - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1 \] Như vậy, phương trình của mặt phẳng (ABC) là: \[ \frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1 \] Đáp án đúng là: \[ D.~\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1 \] Câu 4. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng AB, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}$. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1); 3 - 0; 0 - 0) = (1; 3; 0) \] Phương trình tham số của đường thẳng AB sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_A + t \cdot x_{\overrightarrow{AB}} \\ y = y_A + t \cdot y_{\overrightarrow{AB}} \\ z = z_A + t \cdot z_{\overrightarrow{AB}} \end{array} \right. \] Thay tọa độ của điểm A và các thành phần của vectơ $\overrightarrow{AB}$ vào phương trình trên: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \cdot 1 \\ y = 0 + t \cdot 3 \\ z = 0 + t \cdot 0 \end{array} \right. \] Simplifying the equations, we get: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 3t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[ D.\left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 3t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: D. Câu 5. Để xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số, chúng ta cần kiểm tra các giới hạn của hàm số tại các điểm đặc biệt như \(x \to \pm\infty\) và các điểm mà hàm số không xác định. Bảng biến thiên cho thấy: - Khi \(x \to -\infty\), \(y \to 0\). Điều này cho thấy có một đường tiệm cận ngang \(y = 0\). - Khi \(x \to +\infty\), \(y \to 0\). Điều này cũng cho thấy có một đường tiệm cận ngang \(y = 0\). Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra các điểm mà hàm số không xác định. Bảng biến thiên cho thấy: - Khi \(x \to -1^-\), \(y \to -\infty\). - Khi \(x \to -1^+\), \(y \to +\infty\). - Khi \(x \to 1^-\), \(y \to +\infty\). - Khi \(x \to 1^+\), \(y \to -\infty\). Điều này cho thấy có hai đường tiệm cận đứng tại \(x = -1\) và \(x = 1\). Tóm lại, đồ thị hàm số có: - Một đường tiệm cận ngang \(y = 0\). - Hai đường tiệm cận đứng \(x = -1\) và \(x = 1\). Vậy tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số chung, gọi là công sai. Gọi công sai của cấp số cộng này là \( d \). Ta có: - Số thứ hai \( x \) sẽ là: \( x = -2 + d \) - Số thứ ba \( y \) sẽ là: \( y = x + d = (-2 + d) + d = -2 + 2d \) Bây giờ, ta cần tính \( x - y \): \[ x - y = (-2 + d) - (-2 + 2d) = -2 + d + 2 - 2d = -d \] Do đó, \( x - y = -d \). Để xác định giá trị của \( d \), ta cần biết thêm thông tin về các số hạng khác hoặc công sai cụ thể. Tuy nhiên, dựa vào các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng \( x - y \) phải là một trong các giá trị: 6, 3, -3, -6. Giả sử \( d = 3 \), ta có: \[ x = -2 + 3 = 1 \] \[ y = -2 + 2 \times 3 = 4 \] \[ x - y = 1 - 4 = -3 \] Vậy đáp án đúng là \( x - y = -3 \). Đáp án: C. -3. Câu 7. Để tìm chiều cao của khối lăng trụ, ta cần biết diện tích đáy và thể tích của khối lăng trụ. Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \[ S_{đáy} = 3 \times 3 = 9 \] Thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = 18 \] Chiều cao của khối lăng trụ là: \[ h = \frac{V}{S_{đáy}} = \frac{18}{9} = 2 \] Vậy chiều cao của khối lăng trụ là 2. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 8. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. - Do đó, độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ đều là a. 2. Tính vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$: - Ta có $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| \] 3. Áp dụng công thức tính độ dài vectơ hiệu: - Độ dài của vectơ hiệu $\overrightarrow{u}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\theta)} \] - Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. - Vì ABCD là tứ diện đều, góc giữa hai cạnh liên tiếp là $60^\circ$, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. 4. Thay các giá trị vào công thức: - Ta có: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2}} \] - Rút gọn biểu thức: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} \] \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2} \] \[ |\overrightarrow{u}| = a \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ là \(a\). Đáp án đúng là: D. a. Câu 9. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \ln(x + 1) \) trên khoảng \((-1, +\infty)\), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên. Công thức đạo hàm của hàm số \( y = \ln(u) \) là: \[ y' = \frac{u'}{u} \] Trong trường hợp này, \( u = x + 1 \). Ta tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = 1 \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ y' = \frac{u'}{u} = \frac{1}{x + 1} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \ln(x + 1) \) là: \[ y' = \frac{1}{x + 1} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{1}{x + 1} \] Câu 10. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) = x^4(x - 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [x^4(x - 1)] \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = x^4 \cdot \frac{d}{dx}(x - 1) + (x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^4) \] \[ f'(x) = x^4 \cdot 1 + (x - 1) \cdot 4x^3 \] \[ f'(x) = x^4 + 4x^3(x - 1) \] \[ f'(x) = x^4 + 4x^4 - 4x^3 \] \[ f'(x) = 5x^4 - 4x^3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: Điều kiện để hàm số có cực trị là đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 5x^4 - 4x^3 = 0 \] \[ x^3(5x - 4) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ 5x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5} \] 3. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 0 \), chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 5(-1)^4 - 4(-1)^3 = 5 + 4 = 9 > 0 \] - Khi \( 0 < x < \frac{4}{5} \), chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ f'\left(\frac{1}{2}\right) = 5\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 5 \cdot \frac{1}{16} - 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{16} - \frac{4}{8} = \frac{5}{16} - \frac{8}{16} = -\frac{3}{16} < 0 \] - Khi \( x > \frac{4}{5} \), chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 5(1)^4 - 4(1)^3 = 5 - 4 = 1 > 0 \] Từ đó, ta thấy: - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = 0 \), do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = \frac{4}{5} \), do đó \( x = \frac{4}{5} \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( f(x) = x^4(x - 1) \) có 2 điểm cực trị. Đáp án: D. 2.