Cho ΔABC ⊥ tại A. Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho CD = AB. Vẽ DH ⊥ AB. Gọi M là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng AM và DH cắt nhau tại F. Chứng minh rằng BF là đường phân giác của góc B.

Question

Timi · Accepted Answer

Ta có $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, trên cạnh huyền $ BC $ lấy điểm $ D $ sao cho $ CD = AB $. Vẽ $ DH \perp AB $ tại $ H $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ BD $. Các đoạn thẳng $ AM $ và $ DH $ cắt nhau tại $ F $. Chúng ta cần chứng minh rằng $ BF $ là đường phân giác của góc $ B $.

Bước 1: Xét $ \triangle ABD $ và $ \triangle CDB $:
- $ AB = CD $ (theo đề bài)
- $ BD $ chung
- $ \angle ABD = \angle CDB $ (vì $ \angle ABD = 90^\circ - \angle ADB $ và $ \angle CDB = 90^\circ - \angle ADB $)

Do đó, $ \triangle ABD \cong \triangle CDB $ (cạnh - góc - cạnh).

Bước 2: Từ $ \triangle ABD \cong \triangle CDB $, ta có:
- $ AD = DB $

Bước 3: Vì $ M $ là trung điểm của $ BD $, nên $ BM = MD $.

Bước 4: Xét $ \triangle ABM $ và $ \triangle ADM $:
- $ AB = AD $ (chứng minh ở Bước 2)
- $ BM = MD $ (chứng minh ở Bước 3)
- $ AM $ chung

Do đó, $ \triangle ABM \cong \triangle ADM $ (cạnh - cạnh - cạnh).

Bước 5: Từ $ \triangle ABM \cong \triangle ADM $, ta có:
- $ \angle BAM = \angle DAM $

Bước 6: Vì $ \angle BAM = \angle DAM $, nên $ AM $ là đường phân giác của $ \angle BAD $.

Bước 7: Xét $ \triangle BDF $ và $ \triangle HDF $:
- $ \angle BDF = \angle HDF $ (vì $ \angle BDF = 90^\circ - \angle ADB $ và $ \angle HDF = 90^\circ - \angle ADB $)
- $ DF $ chung
- $ \angle BFD = \angle HFD $ (vì $ \angle BFD = 90^\circ - \angle BDF $ và $ \angle HFD = 90^\circ - \angle HDF $)

Do đó, $ \triangle BDF \cong \triangle HDF $ (góc - cạnh - góc).

Bước 8: Từ $ \triangle BDF \cong \triangle HDF $, ta có:
- $ BF = HF $

Bước 9: Vì $ BF = HF $, nên $ BF $ là đường phân giác của $ \angle B $.

Kết luận: $ BF $ là đường phân giác của góc $ B $.