giúp mik vs

Câu 4: Để tính tích phân $\int^2_1 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_0 f(x) dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^2_1 f(x) dx \] Biết rằng: \[ \int^1_0 f(x) dx = 1 \] \[ \int^2_0 f(x) dx = -4 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ -4 = 1 + \int^2_1 f(x) dx \] Giải phương trình này để tìm $\int^2_1 f(x) dx$: \[ \int^2_1 f(x) dx = -4 - 1 = -5 \] Vậy tích phân $\int^2_1 f(x) dx$ bằng -5. Đáp án đúng là: C. -5. Câu 5: Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ để xác định tọa độ của điểm D trong hình bình hành ABCD. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 0, 1 + 1, -1 - 1) = (-2, 2, -2) \] Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ bằng vectơ $\overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = (-2, 2, -2) \] Tọa độ của điểm D có thể được tìm bằng cách sử dụng công thức: \[ D = C - \overrightarrow{AB} \] Tọa độ của điểm D: \[ D = (-1, 3, 2) - (-2, 2, -2) = (-1 + 2, 3 - 2, 2 + 2) = (1, 1, 4) \] Vậy tọa độ của điểm D là $(1, 1, 4)$. Đáp án đúng là: C. D(1, 1, 4). Câu 6: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O, ta có các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD. Ta sẽ tính tổng của các vectơ này. Ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} \] Do O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có các vectơ từ O đến các đỉnh của đáy ABCD là: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}, \quad \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} \] Thay vào tổng các vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) \] Gộp các vectơ giống nhau lại, ta được: \[ = 4\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Vì O là tâm của hình bình hành, nên: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Vậy tổng các vectơ là: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} \] Đáp án đúng là: \[ A.~4\overrightarrow{SO}. \] Câu 7: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x}{x + 1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia $x^2 - 2x$ cho $x + 1$: \[ \begin{array}{r|rr} & x & -3 \\ \hline x + 1 & x^2 & -2x \\ & -(x^2 & +x) \\ \hline & & -3x \\ & & -(-3x & -3) \\ \hline & & & 3 \\ \end{array} \] Ta có: \[ \frac{x^2 - 2x}{x + 1} = x - 3 + \frac{3}{x + 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{3}{x + 1} \to 0$. Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x - 3$. Đáp án đúng là: B. $y = x - 3$. Câu 8: Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1, -2, 3) \) và \( B(3, 1, 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng \( AB \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 1 + 2, 1 - 3) = (2, 3, -2) \] 2. Lập phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -2, 3) \) và có vector chỉ phương \( \overrightarrow{AB} = (2, 3, -2) \) là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-2} \] Do đó, phương án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{C}.~\frac{x-1}2=\frac{y+2}3=\frac{z-3}{-2}} \] Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa SC và mặt phẳng ABCD. 2. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. 3. Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bước 1: Xác định góc giữa SC và mặt phẳng ABCD. - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. - Vì SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên SO cũng vuông góc với mặt phẳng ABCD. - Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là góc giữa SC và SO. Bước 2: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. - Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên OA = OB = OC = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên SO vuông góc với mặt phẳng ABCD. - SD = a√3, nên SO = a (vì SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SD là đường chéo của hình vuông). Bước 3: Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Ta có SO = a và OC = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Ta tính SC bằng Pythagoras trong tam giác SOC: \[ SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \] - Góc giữa SC và SO là góc giữa SC và mặt phẳng ABCD. Ta tính cos của góc này: \[ \cos(\angle SCO) = \frac{SO}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \] - Từ đó suy ra góc $\angle SCO$ là: \[ \angle SCO = \arccos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \] Tuy nhiên, vì chúng ta chỉ cần chọn đáp án từ các lựa chọn đã cho, ta nhận thấy rằng góc này gần với 30°. Do đó, đáp án đúng là: Đáp án: B. 30°. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích đáy của khối chóp S.ABC. 2. Tính chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABC. 3. Áp dụng công thức tính thể tích của khối chóp. Bước 1: Xác định diện tích đáy của khối chóp S.ABC Vì đáy ABC là tam giác đều, ta có thể tính diện tích đáy bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2 \] Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABC Chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABC chính là đoạn thẳng SA, vì SA vuông góc với đáy ABC. Ta đã biết: \[ SA = a\sqrt{3} \] Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích của khối chóp Thể tích của khối chóp S.ABC được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2 \right) \cdot a\sqrt{3} \] Ta cần biết cạnh AB của tam giác đều ABC. Vì SA vuông góc với đáy ABC và SA = a√3, ta có thể suy ra cạnh AB của tam giác đều ABC cũng là a (vì tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau). Do đó: \[ AB = a \] Thay vào công thức diện tích đáy: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] Thay vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \right) \cdot a\sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot a^3 \] \[ V = \frac{1}{4} \cdot a^3 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: \[ V = \frac{a^3}{4} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{a^3}{4}$. Câu 11: Để tìm bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Phương trình ban đầu là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 4y - 2z + 5 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến và hoàn thành bình phương cho chúng: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 2z) + 5 = 0 \] Ta thêm và bớt các hằng số để hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 + 4y + 4 - 4) + (z^2 - 2z + 1 - 1) + 5 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 1)^2 - 1 + 5 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 - 4 = 0 \] Do đó: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] 3. Nhận diện phương trình chuẩn của mặt cầu: Phương trình chuẩn của mặt cầu có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] Ta thấy rằng đây là phương trình của mặt cầu tâm $(2, -2, 1)$ và bán kính $R = \sqrt{4} = 2$. Vậy đáp án đúng là: D. 2.