giupd e vớiiu Câu 22. Cho hàm số $y=\frac{x+x+1}{x+1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty).$,,
b),Hàm số đã cho không có cực trị.,,
c),Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=x.$,,
d),Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(-1;-1).$,,

Question

giupd e vớiiu Câu 22. Cho hàm số $y=\frac{x+x+1}{x+1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty).$,,
b),Hàm số đã cho không có cực trị.,,
c),Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=x.$,,
d),Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(-1;-1).$,,

Accepted Answer

Câu 22.
Đầu tiên, ta viết lại hàm số $y$ dưới dạng đơn giản hơn:
$$ y = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x + 1} $$

a) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$.

Ta tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = \left( \frac{2x + 1}{x + 1} \right)' = \frac{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} $$

Đạo hàm $y'$ luôn dương khi $x \neq -1$. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Vì vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$ là đúng.

b) Hàm số đã cho không có cực trị.

Vì đạo hàm $y' = \frac{1}{(x + 1)^2}$ luôn dương khi $x \neq -1$, hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Do đó, mệnh đề này là đúng.

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x$.

Ta tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng:
$$ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{2x + 1}{x + 1} \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \right) = 2 $$

Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = 2$, không phải là $y = x$. Mệnh đề này là sai.

d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(-1; -1)$.

Ta kiểm tra tính chất tâm đối xứng của hàm số tại điểm $I(-1; -1)$. Ta thay $x = -1 + t$ vào hàm số:
$$ y = \frac{2(-1 + t) + 1}{-1 + t + 1} = \frac{-2 + 2t + 1}{t} = \frac{2t - 1}{t} = 2 - \frac{1}{t} $$

Khi đó, nếu ta thay $x = -1 - t$ vào hàm số:
$$ y = \frac{2(-1 - t) + 1}{-1 - t + 1} = \frac{-2 - 2t + 1}{-t} = \frac{-2t - 1}{-t} = 2 + \frac{1}{t} $$

Như vậy, ta thấy rằng:
$$ f(-1 + t) + f(-1 - t) = \left( 2 - \frac{1}{t} \right) + \left( 2 + \frac{1}{t} \right) = 4 $$

Điều này chứng tỏ rằng đồ thị hàm số có tâm đối xứng tại điểm $I(-1; -1)$. Mệnh đề này là đúng.

Kết luận:
- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Đúng