Tính giá trị M.

Bước 1: Xử lý giới hạn $A$

Cho giới hạn:

$A = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + (m - 2n - 3)x - 3m + 6n}{x^2 - 3x}$

Mẫu số là $x^2 - 3x = x(x - 3)$. Khi $x \to 3$, mẫu số tiến về 0.

Để giới hạn $A$ tồn tại và hữu hạn (ở đây là $A=0$), tử số cũng phải tiến về 0 khi $x \to 3$.

Gọi tử số là $f(x) = x^2 + (m - 2n - 3)x - 3m + 6n$.

Thay $x=3$ vào tử số:

$f(3) = 3^2 + (m - 2n - 3)(3) - 3m + 6n$

$f(3) = 9 + 3m - 6n - 9 - 3m + 6n$

$f(3) = 0$

Điều này luôn đúng với mọi $m, n$. Điều này có nghĩa là $(x-3)$ là một thừa số của tử số.

Vì tử số và mẫu số đều có dạng $0/0$ khi $x \to 3$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc phân tích nhân tử.

Cách 1: Sử dụng quy tắc L'Hôpital

$A = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx}(x^2 + (m - 2n - 3)x - 3m + 6n)}{\frac{d}{dx}(x^2 - 3x)}$

$A = \lim_{x \to 3} \frac{2x + (m - 2n - 3)}{2x - 3}$

Thay $x=3$ vào biểu thức:

$A = \frac{2(3) + (m - 2n - 3)}{2(3) - 3}$

$A = \frac{6 + m - 2n - 3}{6 - 3}$

$A = \frac{m - 2n + 3}{3}$

Cách 2: Phân tích nhân tử

Vì $x=3$ là nghiệm của tử số, ta biết tử số có thể viết dưới dạng $(x-3)$ nhân với một biểu thức bậc nhất.

$x^2 + (m - 2n - 3)x - 3m + 6n = (x-3)(x + k)$

So sánh hệ số tự do: $-3k = -3m + 6n \Rightarrow k = m - 2n$.

Vậy tử số là $(x-3)(x + m - 2n)$.

Giới hạn trở thành:

$A = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x + m - 2n)}{x(x-3)}$

$A = \lim_{x \to 3} \frac{x + m - 2n}{x}$

Thay $x=3$:

$A = \frac{3 + m - 2n}{3}$

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả cho $A$.

Theo đề bài, $A = 0$, nên:

$\frac{m - 2n + 3}{3} = 0$

$m - 2n + 3 = 0$

Đây là điều kiện ràng buộc giữa $m$ và $n$. Ta có thể biểu diễn $m$ theo $n$:

$m = 2n - 3$

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$

Thay $m = 2n - 3$ vào biểu thức $P$:

$P = m^2 + 2n^2 + m - 2n + 2020$

$P = (2n - 3)^2 + 2n^2 + (2n - 3) - 2n + 2020$

Khai triển và rút gọn:

$P = (4n^2 - 12n + 9) + 2n^2 + 2n - 3 - 2n + 2020$

$P = (4n^2 + 2n^2) + (-12n + 2n - 2n) + (9 - 3 + 2020)$

$P = 6n^2 - 12n + 2026$

Đây là một hàm số bậc hai của $n$, có dạng $an^2 + bn + c$ với $a=6 > 0$. Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.

Tọa độ $n$ của đỉnh là $n_0 = -\frac{b}{2a}$.

$n_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

Bước 3: Tìm $m_0$ tương ứng

Thay $n_0 = 1$ vào mối quan hệ $m = 2n - 3$:

$m_0 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$

Bước 4: Tính giá trị của $M$

Giá trị cần tìm là $M = m_0^2 + n_0^2$.

$M = (-1)^2 + (1)^2$

$M = 1 + 1$

$M = 2$

Vậy giá trị của biểu thức $M=2$.