trắc nghiệm đúng /sai

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định điểm M thuộc đường thẳng Δ Đường thẳng Δ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = t \\ z = 2 - 2t \end{cases} \] Ta kiểm tra điểm \( M(1;0;-2) \): \[ \begin{cases} 1 = -1 + 2t \\ 0 = t \\ -2 = 2 - 2t \end{cases} \] Từ \( 0 = t \), ta có \( t = 0 \). Thay \( t = 0 \) vào các phương trình: \[ \begin{cases} 1 = -1 + 2 \cdot 0 \\ 0 = 0 \\ -2 = 2 - 2 \cdot 0 \end{cases} \] Các phương trình đều đúng, vậy điểm \( M(1;0;-2) \) thuộc đường thẳng Δ. Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là \( \overrightarrow{u} = (2;1;-2) \). Bước 3: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ và đi qua điểm A(3;4;-1). Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của (P). Điểm M thuộc Δ, nên ta có vectơ \( \overrightarrow{AM} = (1-3; 0-4; -2+1) = (-2; -4; -3) \). Vectơ pháp tuyến của (P) là \( \overrightarrow{n} \), và nó vuông góc với cả \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{AM} \). Ta tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-3) - (-2) \cdot (-4)) - \mathbf{j}(2 \cdot (-3) - (-2) \cdot (-2)) + \mathbf{k}(2 \cdot (-4) - 1 \cdot (-2)) \] \[ = \mathbf{i}(-3 - 8) - \mathbf{j}(-6 - 4) + \mathbf{k}(-8 + 2) = \mathbf{i}(-11) - \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(-6) = (-11; 10; -6) \] Bước 4: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;4;-1) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-11; 10; -6) \): \[ -11(x - 3) + 10(y - 4) - 6(z + 1) = 0 \] \[ -11x + 33 + 10y - 40 - 6z - 6 = 0 \] \[ -11x + 10y - 6z - 13 = 0 \] Đường thẳng qua B(1;2;2) và vuông góc với (P) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 - 11t \\ y = 2 + 10t \\ z = 2 - 6t \end{cases} \] Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \[ -11(1 - 11t) + 10(2 + 10t) - 6(2 - 6t) - 13 = 0 \] \[ -11 + 121t + 20 + 100t - 12 + 36t - 13 = 0 \] \[ 257t - 6 = 0 \] \[ t = \frac{6}{257} \] Thay \( t = \frac{6}{257} \) vào phương trình đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 1 - 11 \cdot \frac{6}{257} = \frac{257 - 66}{257} = \frac{191}{257} \\ y = 2 + 10 \cdot \frac{6}{257} = \frac{514 + 60}{257} = \frac{574}{257} \\ z = 2 - 6 \cdot \frac{6}{257} = \frac{514 - 36}{257} = \frac{478}{257} \end{cases} \] Vậy hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (P) là \( H\left(\frac{191}{257}; \frac{574}{257}; \frac{478}{257}\right) \). Kiểm tra \( a + b + c \): \[ a + b + c = \frac{191}{257} + \frac{574}{257} + \frac{478}{257} = \frac{191 + 574 + 478}{257} = \frac{1243}{257} = \frac{14}{3} \] Đáp án: \( \frac{14}{3} \).