giuppppppppppp toi vs ạ

Câu 4: a) Phương trình bề mặt trái đất là $x^2+y^2+z^2=1$ b) Gọi tọa độ của thiết bị GPS là $P(x;y;z)$. Ta có: - $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5}$ - $PB = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2 + z^2} = \sqrt{2}$ - $PC = \sqrt{x^2 + (y - \frac{11}{4})^2 + (z + \frac{\sqrt{7}}{4})^2} = 2$ Từ đây ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 5 \\ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 2 \\ x^2 + (y - \frac{11}{4})^2 + (z + \frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 4 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được nghiệm $(x, y, z) = (0, \frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$. Vậy tọa độ của thiết bị GPS là $P(0; \frac{3}{4}; -\frac{\sqrt{7}}{4})$. c) Để xác định vị trí địa lý của thiết bị GPS, ta cần biết tọa độ địa lý (vĩ độ và kinh độ). Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta chưa có thông tin về hệ tọa độ địa lý cụ thể. Do đó, chúng ta không thể xác định chính xác vĩ độ và kinh độ của thiết bị GPS từ tọa độ tọa độ Oxyz đã cho. d) Gọi tọa độ của thiết bị GPS khác là $Q(a;b;c)$. Vì thiết bị GPS này cách đều hai vệ tinh A và B, ta có: \[ QA = QB \] \[ \sqrt{(a - 2)^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + (b - 2)^2 + c^2} \] Bình phương cả hai vế, ta có: \[ (a - 2)^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (b - 2)^2 + c^2 \] \[ a^2 - 4a + 4 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 - 4b + 4 + c^2 \] \[ -4a = -4b \] \[ a = b \] Do đó, tọa độ của thiết bị GPS khác là $Q(a;a;c)$. Vì thiết bị GPS này cũng nằm trên bề mặt trái đất, ta có: \[ a^2 + a^2 + c^2 = 1 \] \[ 2a^2 + c^2 = 1 \] Khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS là khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn lớn của mặt cầu. Ta tính khoảng cách giữa hai điểm $P(0; \frac{3}{4}; -\frac{\sqrt{7}}{4})$ và $Q(a;a;c)$ trên mặt cầu. Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt cầu là: \[ d = R \cdot \theta \] Trong đó, $R = 6371$ km và $\theta$ là góc giữa hai vectơ từ tâm Trái Đất đến hai điểm. Ta tính cos của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{P \cdot Q}{|P| |Q|} = \frac{0 \cdot a + \frac{3}{4} \cdot a + (-\frac{\sqrt{7}}{4}) \cdot c}{1 \cdot 1} = \frac{\frac{3}{4}a - \frac{\sqrt{7}}{4}c}{1} = \frac{3a - \sqrt{7}c}{4} \] Vì $2a^2 + c^2 = 1$, ta có thể chọn $a = \frac{1}{2}$ và $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ để thoả mãn điều kiện. Thay vào, ta có: \[ \cos \theta = \frac{3 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}{4} = \frac{3 - \sqrt{21}}{8} \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3 - \sqrt{21}}{8}\right) \] Khoảng cách trên mặt đất là: \[ d = 6371 \cdot \theta \approx 3515 \text{ km} \] Đáp số: a) Phương trình bề mặt trái đất là $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ b) Thiết bị GPS có tọa độ $P(0; \frac{3}{4}; -\frac{\sqrt{7}}{4})$ c) Không thể xác định chính xác vĩ độ và kinh độ từ tọa độ tọa độ Oxyz đã cho. d) Khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS là 3515 km. Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với đáy, ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 2, 0) - D(0, 2, 0) - S(0, 0, 3) 2. Tìm tọa độ điểm M: - M là trung điểm của AB, nên tọa độ của M là: \[ M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \] 3. Viết phương trình đường thẳng SC và DM: - Đường thẳng SC đi qua điểm S(0, 0, 3) và C(1, 2, 0): \[ \vec{SC} = (1-0, 2-0, 0-3) = (1, 2, -3) \] Phương trình tham số của đường thẳng SC: \[ \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 3 - 3t \end{cases} \] - Đường thẳng DM đi qua điểm D(0, 2, 0) và M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right): \[ \vec{DM} = \left(\frac{1}{2} - 0, 0 - 2, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, -2, 0\right) \] Phương trình tham số của đường thẳng DM: \[ \begin{cases} x = \frac{1}{2}s \\ y = 2 - 2s \\ z = 0 \end{cases} \] 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và DM: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và DM là tích vector của \(\vec{SC}\) và \(\vec{DM}\): \[ \vec{n} = \vec{SC} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ \frac{1}{2} & -2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - (-3) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot \frac{1}{2}) \] \[ = \mathbf{i}(-6) - \mathbf{j}(\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(-3) = (-6, -\frac{3}{2}, -3) \] 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Chọn điểm \(P\) trên đường thẳng SC và điểm \(Q\) trên đường thẳng DM: \[ P(0, 0, 3) \quad \text{và} \quad Q(0, 2, 0) \] - Vectơ \(\vec{PQ}\): \[ \vec{PQ} = (0 - 0, 2 - 0, 0 - 3) = (0, 2, -3) \] - Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng: \[ d = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(0, 2, -3) \cdot (-6, -\frac{3}{2}, -3)|}{\sqrt{(-6)^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-3)^2}} \] \[ = \frac{|0 \cdot (-6) + 2 \cdot (-\frac{3}{2}) + (-3) \cdot (-3)|}{\sqrt{36 + \frac{9}{4} + 9}} = \frac{|0 - 3 + 9|}{\sqrt{36 + 2.25 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{47.25}} \approx \frac{6}{6.87} \approx 0.87 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM là khoảng 0.87 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 2: Để tìm tổng số thử thách nhỏ nhất, ta cần tìm đường đi ngắn nhất từ một trụ bất kỳ đến tất cả các trụ còn lại và trở về trụ ban đầu. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp xuất phát từ mỗi trụ. 1. Xuất phát từ trụ A: - A → B: 1 - B → C: 2 - C → D: 3 - D → E: 4 - E → A: 5 Tổng số thử thách: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 2. Xuất phát từ trụ B: - B → A: 1 - A → C: 2 - C → D: 3 - D → E: 4 - E → B: 5 Tổng số thử thách: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 3. Xuất phát từ trụ C: - C → B: 2 - B → A: 1 - A → D: 3 - D → E: 4 - E → C: 5 Tổng số thử thách: 2 + 1 + 3 + 4 + 5 = 15 4. Xuất phát từ trụ D: - D → C: 3 - C → B: 2 - B → A: 1 - A → E: 4 - E → D: 5 Tổng số thử thách: 3 + 2 + 1 + 4 + 5 = 15 5. Xuất phát từ trụ E: - E → D: 4 - D → C: 3 - C → B: 2 - B → A: 1 - A → E: 5 Tổng số thử thách: 4 + 3 + 2 + 1 + 5 = 15 Như vậy, tổng số thử thách nhỏ nhất là 15, không phụ thuộc vào điểm xuất phát. Đáp số: 15