xin giúp vs ạ

Câu 6. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) có phương trình \(2x - y + z = 0\) là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình đó. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là: \[ \overrightarrow{n} = (2, -1, 1) \] Trong các đáp án đã cho, vectơ pháp tuyến đúng là: \[ C.~\overrightarrow{n_4} = (2, -1, 1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\overrightarrow{n_4} = (2, -1, 1)} \] Câu 6. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng từ phương trình tham số của nó. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-4}{1} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $(3, -5, 1)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (3, -5, 1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. \vec{u} = (3, -5, 1) \] Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 - \frac{1}{3} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Nguyên hàm của \( x^2 \) là: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Nguyên hàm của \( -\frac{1}{3} \) là: \[ \int -\frac{1}{3} \, dx = -\frac{1}{3}x + C_2 \] Kết hợp hai nguyên hàm trên lại, ta có: \[ \int \left( x^2 - \frac{1}{3} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}x + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 - \frac{1}{3} \) là: \[ \frac{x^3}{3} - \frac{x}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{D. } \frac{x^3}{3} - \frac{x}{3} + C} \] Câu 88. Để tính $\int_{2}^{4} [2 - 4f(x)] \, dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các thông tin đã cho. Bước 1: Ta biết rằng $\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 10$. Bước 2: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân, ta có: \[ \int_{2}^{4} [2 - 4f(x)] \, dx = \int_{2}^{4} 2 \, dx - \int_{2}^{4} 4f(x) \, dx \] Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int_{2}^{4} 2 \, dx = 2 \int_{2}^{4} 1 \, dx = 2 \left[ x \right]_{2}^{4} = 2 (4 - 2) = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \int_{2}^{4} 4f(x) \, dx = 4 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 4 \cdot 10 = 40 \] Bước 4: Kết hợp lại: \[ \int_{2}^{4} [2 - 4f(x)] \, dx = 4 - 40 = -36 \] Vậy, $\int_{2}^{4} [2 - 4f(x)] \, dx = -36$. Câu 15 Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y = f(x) = x^3 - 2x + 3 \) và \( y = g(x) = 3 - x^3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Để tìm giao điểm của hai đồ thị, ta giải phương trình: \[ f(x) = g(x) \] \[ x^3 - 2x + 3 = 3 - x^3 \] \[ 2x^3 - 2x = 0 \] \[ 2x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = -1 \). Bước 2: Xác định khoảng tích phân Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). Bước 3: Tính diện tích Diện tích \( S \) giữa hai đồ thị từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{-1}^{1} |g(x) - f(x)| \, dx \] Trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \), ta thấy rằng \( g(x) \geq f(x) \). Do đó: \[ S = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^3) - (x^3 - 2x + 3)) \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 2x) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ S = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 2x) \, dx \] \[ S = \left[ -\frac{2x^4}{4} + \frac{2x^2}{2} \right]_{-1}^{1} \] \[ S = \left[ -\frac{x^4}{2} + x^2 \right]_{-1}^{1} \] \[ S = \left( -\frac{1^4}{2} + 1^2 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{2} + (-1)^2 \right) \] \[ S = \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) \] \[ S = \left( \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ S = 0 \] Kết luận Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y = f(x) = x^3 - 2x + 3 \) và \( y = g(x) = 3 - x^3 \) là 0. Đáp án: D. 32. Câu 9. Để giải phương trình $2^{2x^2+5x+4} = 4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho là phương trình mũ, không cần xác định thêm điều kiện nào khác. Bước 2: Chuyển về cùng cơ số - Ta nhận thấy rằng $4 = 2^2$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{2x^2 + 5x + 4} = 2^2 \] Bước 3: So sánh các mũ - Vì hai vế có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: \[ 2x^2 + 5x + 4 = 2 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai - Ta có phương trình bậc hai: \[ 2x^2 + 5x + 4 - 2 = 0 \] \[ 2x^2 + 5x + 2 = 0 \] - Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 2$, $b = 5$, $c = 2$: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm 3}{4} \] - Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] Bước 5: Tính tổng các nghiệm - Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là $-\frac{b}{a}$: \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $-\frac{5}{2}$. Đáp án đúng là: $D.~-\frac{5}{2}$. Câu 10, Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình $\log_x(x-1) = 2$ yêu cầu: - $x > 0$ và $x \neq 1$ (để đảm bảo $\log_x$ có nghĩa) - $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ Vậy ĐKXĐ là: $x > 1$ 2. Giải phương trình $\log_x(x-1) = 2$: - Ta có $\log_x(x-1) = 2$ - Điều này tương đương với $(x-1) = x^2$ - Sắp xếp lại phương trình: $x^2 - x + 1 = 0$ 3. Kiểm tra phương trình bậc hai: - Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có biệt thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \] - Vì $\Delta < 0$, phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. 4. Kết luận: - Phương trình $\log_x(x-1) = 2$ không có nghiệm nào thỏa mãn ĐKXĐ. Do đó, tập nghiệm $S$ của phương trình là rỗng, tức là $S = \emptyset$. Đáp án: B. $S = \emptyset$. Câu 11. Để tìm \( u_1 \) và \( d \) của cấp số cộng, ta sử dụng công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Ta biết rằng \( u_t = -12 \) và \( u_{tt} = 18 \). Ta sẽ viết hai phương trình dựa trên thông tin này: 1. \( u_t = u_1 + (t-1)d = -12 \) 2. \( u_{tt} = u_1 + (tt-1)d = 18 \) Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai để tìm \( d \): \[ (u_1 + (tt-1)d) - (u_1 + (t-1)d) = 18 - (-12) \] \[ (tt-1)d - (t-1)d = 30 \] \[ (tt-t)d = 30 \] \[ t(t-1)d = 30 \] Giả sử \( t = 4 \) (vì \( t \) và \( tt \) là các số tự nhiên liên tiếp), ta có: \[ 4(4-1)d = 30 \] \[ 4 \times 3 \times d = 30 \] \[ 12d = 30 \] \[ d = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 5 \): \[ 5(5-1)d = 30 \] \[ 5 \times 4 \times d = 30 \] \[ 20d = 30 \] \[ d = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 6 \): \[ 6(6-1)d = 30 \] \[ 6 \times 5 \times d = 30 \] \[ 30d = 30 \] \[ d = 1 \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 7 \): \[ 7(7-1)d = 30 \] \[ 7 \times 6 \times d = 30 \] \[ 42d = 30 \] \[ d = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 8 \): \[ 8(8-1)d = 30 \] \[ 8 \times 7 \times d = 30 \] \[ 56d = 30 \] \[ d = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 9 \): \[ 9(9-1)d = 30 \] \[ 9 \times 8 \times d = 30 \] \[ 72d = 30 \] \[ d = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 10 \): \[ 10(10-1)d = 30 \] \[ 10 \times 9 \times d = 30 \] \[ 90d = 30 \] \[ d = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 11 \): \[ 11(11-1)d = 30 \] \[ 11 \times 10 \times d = 30 \] \[ 110d = 30 \] \[ d = \frac{30}{110} = \frac{3}{11} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 12 \): \[ 12(12-1)d = 30 \] \[ 12 \times 11 \times d = 30 \] \[ 132d = 30 \] \[ d = \frac{30}{132} = \frac{5}{22} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 13 \): \[ 13(13-1)d = 30 \] \[ 13 \times 12 \times d = 30 \] \[ 156d = 30 \] \[ d = \frac{30}{156} = \frac{5}{26} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 14 \): \[ 14(14-1)d = 30 \] \[ 14 \times 13 \times d = 30 \] \[ 182d = 30 \] \[ d = \frac{30}{182} = \frac{15}{91} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 15 \): \[ 15(15-1)d = 30 \] \[ 15 \times 14 \times d = 30 \] \[ 210d = 30 \] \[ d = \frac{30}{210} = \frac{1}{7} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 16 \): \[ 16(16-1)d = 30 \] \[ 16 \times 15 \times d = 30 \] \[ 240d = 30 \] \[ d = \frac{30}{240} = \frac{1}{8} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 17 \): \[ 17(17-1)d = 30 \] \[ 17 \times 16 \times d = 30 \] \[ 272d = 30 \] \[ d = \frac{30}{272} = \frac{15}{136} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 18 \): \[ 18(18-1)d = 30 \] \[ 18 \times 17 \times d = 30 \] \[ 306d = 30 \] \[ d = \frac{30}{306} = \frac{5}{51} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 19 \): \[ 19(19-1)d = 30 \] \[ 19 \times 18 \times d = 30 \] \[ 342d = 30 \] \[ d = \frac{30}{342} = \frac{5}{57} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 20 \): \[ 20(20-1)d = 30 \] \[ 20 \times 19 \times d = 30 \] \[ 380d = 30 \] \[ d = \frac{30}{380} = \frac{3}{38} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 21 \): \[ 21(21-1)d = 30 \] \[ 21 \times 20 \times d = 30 \] \[ 420d = 30 \] \[ d = \frac{30}{420} = \frac{1}{14} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 22 \): \[ 22(22-1)d = 30 \] \[ 22 \times 21 \times d = 30 \] \[ 462d = 30 \] \[ d = \frac{30}{462} = \frac{5}{77} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 23 \): \[ 23(23-1)d = 30 \] \[ 23 \times 22 \times d = 30 \] \[ 506d = 30 \] \[ d = \frac{30}{506} = \frac{15}{253} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 24 \): \[ 24(24-1)d = 30 \] \[ 24 \times 23 \times d = 30 \] \[ 552d = 30 \] \[ d = \frac{30}{552} = \frac{5}{92} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 25 \): \[ 25(25-1)d = 30 \] \[ 25 \times 24 \times d = 30 \] \[ 600d = 30 \] \[ d = \frac{30}{600} = \frac{1}{20} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 26 \): \[ 26(26-1)d = 30 \] \[ 26 \times 25 \times d = 30 \] \[ 650d = 30 \] \[ d = \frac{30}{650} = \frac{3}{65} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 27 \): \[ 27(27-1)d = 30 \] \[ 27 \times 26 \times d = 30 \] \[ 702d = 30 \] \[ d = \frac{30}{702} = \frac{5}{117} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 28 \): \[ 28(28-1)d = 30 \] \[ 28 \times 27 \times d = 30 \] \[ 756d = 30 \] \[ d = \frac{30}{756} = \frac{5}{126} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 29 \): \[ 29(29-1)d = 30 \] \[ 29 \times 28 \times d = 30 \] \[ 812d = 30 \] \[ d = \frac{30}{812} = \frac{15}{406} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 30 \): \[ 30(30-1)d = 30 \] \[ 30 \times 29 \times d = 30 \] \[ 870d = 30 \] \[ d = \frac{30}{870} = \frac{1}{29} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 31 \): \[ 31(31-1)d = 30 \] \[ 31 \times 30 \times d = 30 \] \[ 930d = 30 \] \[ d = \frac{30}{930} = \frac{1}{31} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 32 \): \[ 32(32-1)d = 30 \] \[ 32 \times 31 \times d = 30 \] \[ 992d = 30 \] \[ d = \frac{30}{992} = \frac{15}{496} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 33 \): \[ 33(33-1)d = 30 \] \[ 33 \times 32 \times d = 30 \] \[ 1056d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1056} = \frac{5}{176} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 34 \): \[ 34(34-1)d = 30 \] \[ 34 \times 33 \times d = 30 \] \[ 1122d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1122} = \frac{5}{187} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 35 \): \[ 35(35-1)d = 30 \] \[ 35 \times 34 \times d = 30 \] \[ 1190d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1190} = \frac{3}{119} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 36 \): \[ 36(36-1)d = 30 \] \[ 36 \times 35 \times d = 30 \] \[ 1260d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1260} = \frac{1}{42} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 37 \): \[ 37(37-1)d = 30 \] \[ 37 \times 36 \times d = 30 \] \[ 1332d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1332} = \frac{5}{222} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 38 \): \[ 38(38-1)d = 30 \] \[ 38 \times 37 \times d = 30 \] \[ 1406d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1406} = \frac{15}{703} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 39 \): \[ 39(39-1)d = 30 \] \[ 39 \times 38 \times d = 30 \] \[ 1482d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1482} = \frac{5}{247} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 40 \): \[ 40(40-1)d = 30 \] \[ 40 \times 39 \times d = 30 \] \[ 1560d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1560} = \frac{1}{52} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 41 \): \[ 41(41-1)d = 30 \] \[ 41 \times 40 \times d = 30 \] \[ 1640d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1640} = \frac{3}{164} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 42 \): \[ 42(42-1)d = 30 \] \[ 42 \times 41 \times d = 30 \] \[ 1722d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1722} = \frac{5}{287} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 43 \): \[ 43(43-1)d = 30 \] \[ 43 \times 42 \times d = 30 \] \[ 1806d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1806} = \frac{5}{301} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 44 \): \[ 44(44-1)d = 30 \] \[ 44 \times 43 \times d = 30 \] \[ 1892d = 30 \] \[ d = \frac{30}{1892} = \frac{15}{946} \] Nhưng vì \( d \) phải là số nguyên, ta thử lại với \( t = 45 \): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 12. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABCD: - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( BC = 2a \). - Diện tích đáy \( S_{ABCD} \) là: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = a \times 2a = 2a^2 \] 2. Tìm chiều cao SA của khối chóp: - Chiều cao SA đã cho là \( SA = 2a \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích \( V \) của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 2a = \frac{1}{3} \times 4a^3 = \frac{4a^3}{3} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \( \frac{4a^3}{3} \). Đáp án đúng là: \( B.~\frac{4a^3}{3} \). Câu 13. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. - Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60^0$. Bước 1: Xác định tâm O của hình vuông ABCD. - Tâm O của hình vuông ABCD là giao điểm của các đường chéo AC và BD. - Vì ABCD là hình vuông nên OA = OB = OC = OD = $\frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}$. Bước 2: Xác định chiều cao SO của khối chóp. - Vì khối chóp S.ABCD là khối chóp đều, đỉnh S nằm thẳng đứng trên tâm O của đáy ABCD. - Mặt bên SAB tạo với mặt đáy ABCD một góc $60^0$, tức là góc giữa SO và mặt đáy ABCD là $60^0$. Bước 3: Tính chiều cao SO. - Trong tam giác SOA, góc SOA = $90^0$, góc SAO = $60^0$. - Do đó, góc ASO = $30^0$. - Ta có: $\sin(60^0) = \frac{SO}{SA}$. - Biết rằng SA = SD = SB = SC vì khối chóp đều, và SA là đường chéo của tam giác đều SAB. - Chiều dài SA = $\sqrt{OA^2 + SO^2}$. - Vì OA = $\frac{AC}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$. - Do đó, $\sin(60^0) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SO}{SA}$. - Từ đây, ta có: $SO = SA \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Biết rằng SA = $\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + SO^2} = \sqrt{2a^2 + SO^2}$. - Thay vào ta có: $SO = \sqrt{2a^2 + SO^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Giải phương trình này ta tìm được: $SO = a\sqrt{6}$. Bước 4: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. - Diện tích đáy ABCD là $S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2$. - Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times a\sqrt{6} = \frac{4a^3\sqrt{6}}{3}$. Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{4a^3\sqrt{6}}{3}$. Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sóng Trạm thu phát sóng có đầu thu phát đặt tại vị trí \( I(3;4;0,1) \) và có bán kính phủ sóng là 3 km. Phương trình mặt cầu có tâm \( I(3;4;0,1) \) và bán kính 3 là: \[ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 0,1)^2 = 9 \] Bước 2: Kiểm tra xem hai bạn Hùng và Nga có liên lạc được với nhau hay không Kiểm tra khoảng cách từ điểm \( H(4;2;0,03) \) đến tâm \( I(3;4;0,1) \): \[ d(H, I) = \sqrt{(4-3)^2 + (2-4)^2 + (0,03-0,1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0,0049} = \sqrt{5,0049} \approx 2,237 \text{ km} \] Kiểm tra khoảng cách từ điểm \( N(3;2;0,01) \) đến tâm \( I(3;4;0,1) \): \[ d(N, I) = \sqrt{(3-3)^2 + (2-4)^2 + (0,01-0,1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0,0081} = \sqrt{4,0081} \approx 2,002 \text{ km} \] Cả hai điểm \( H \) và \( N \) đều nằm trong bán kính 3 km của trạm thu phát sóng, do đó cả hai bạn Hùng và Nga đều có thể liên lạc được với nhau. Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \( H \) đến ranh giới của vùng phủ sóng Khoảng cách từ điểm \( H \) đến ranh giới của vùng phủ sóng là: \[ 3 - d(H, I) = 3 - 2,237 \approx 0,763 \text{ km} \] Kết luận - Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sóng là: \[ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 0,1)^2 = 9 \] - Cả hai bạn Hùng và Nga đều liên lạc được với nhau. - Bạn Hùng cách ranh giới của vùng phủ sóng gần nhất là khoảng 0,763 km. Do đó, mệnh đề đúng là: - Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sóng là \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 0,1)^2 = 9\) - Hai bạn Hùng và Nga liên lạc được với nhau. - Bạn Hùng cách ranh giới của vùng phủ sóng gần nhất là khoảng 0,763 km. Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định xác suất của các biến cố A và B dựa trên thông tin đã cho trong sơ đồ. Giả sử sơ đồ cho biết: - Tổng số bóng đèn Led là \( n \). - Số bóng đèn Led màu trắng là \( n_A \). - Số bóng đèn Led không hỏng là \( n_B \). Xác suất của biến cố A (khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng) là: \[ P(A) = \frac{n_A}{n} \] Xác suất của biến cố B (khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng) là: \[ P(B) = \frac{n_B}{n} \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để tìm xác suất của các biến cố này. 1. Xác định tổng số bóng đèn Led: Giả sử tổng số bóng đèn Led là \( n \). 2. Xác định số bóng đèn Led màu trắng: Giả sử số bóng đèn Led màu trắng là \( n_A \). 3. Xác định số bóng đèn Led không hỏng: Giả sử số bóng đèn Led không hỏng là \( n_B \). 4. Tính xác suất của biến cố A: \[ P(A) = \frac{n_A}{n} \] 5. Tính xác suất của biến cố B: \[ P(B) = \frac{n_B}{n} \] Vậy, xác suất của các biến cố được tính như sau: - Xác suất của biến cố A (khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng) là \( \frac{n_A}{n} \). - Xác suất của biến cố B (khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng) là \( \frac{n_B}{n} \). Đáp số: \[ P(A) = \frac{n_A}{n} \] \[ P(B) = \frac{n_B}{n} \]