Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1; 2) đường thẳng d / ((x + 1)/2) = y/1 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P) / x + y - 2z + 5 = 0 . Xét đường thẳng A cắt d và (P) tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN. Biết véc tơ overline u = (1; a; b) là một véc tơ chỉ phương của A. Tính a + b'

Question

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1; 2) đường thẳng d / ((x + 1)/2) = y/1 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P) / x + y - 2z + 5 = 0 . Xét đường thẳng A cắt d và (P) tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN. Biết véc tơ overline u = (1; a; b) là một véc tơ chỉ phương của A. Tính a + b&#x27;

Timi · Accepted Answer

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d.
2. Tìm tọa độ của điểm N trên mặt phẳng (P).
3. Xác định điều kiện để A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
4. Tìm các giá trị của a và b từ véc tơ chỉ phương của đường thẳng A.

Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d

Đường thẳng d có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = -1 + 2t \
y = t \
z = 2 + t
\end{cases}
$$
Gọi M có tọa độ là $(-1 + 2t, t, 2 + t)$.

Bước 2: Tìm tọa độ của điểm N trên mặt phẳng (P)

Mặt phẳng (P) có phương trình:
$$ x + y - 2z + 5 = 0 $$

Giả sử đường thẳng A có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = 1 + s \
y = -1 + as \
z = 2 + bs
\end{cases}
$$
Gọi N có tọa độ là $(1 + s, -1 + as, 2 + bs)$.

Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P):
$$ (1 + s) + (-1 + as) - 2(2 + bs) + 5 = 0 $$
$$ 1 + s - 1 + as - 4 - 2bs + 5 = 0 $$
$$ s + as - 2bs = -1 $$
$$ s(1 + a - 2b) = -1 $$
$$ s = \frac{-1}{1 + a - 2b} $$

Bước 3: Xác định điều kiện để A là trung điểm của đoạn thẳng MN

A là trung điểm của MN, do đó:
$$
\begin{cases}
1 = \frac{-1 + 2t + 1 + s}{2} \
-1 = \frac{t - 1 + as}{2} \
2 = \frac{2 + t + 2 + bs}{2}
\end{cases}
$$

Từ phương trình thứ nhất:
$$ 1 = \frac{-1 + 2t + 1 + s}{2} $$
$$ 2 = 2t + s $$
$$ s = 2 - 2t $$

Từ phương trình thứ ba:
$$ 2 = \frac{2 + t + 2 + bs}{2} $$
$$ 4 = 4 + t + bs $$
$$ t + bs = 0 $$
$$ t = -bs $$

Thay $ s = 2 - 2t $ vào $ t = -bs $:
$$ t = -b(2 - 2t) $$
$$ t = -2b + 2bt $$
$$ t - 2bt = -2b $$
$$ t(1 - 2b) = -2b $$
$$ t = \frac{-2b}{1 - 2b} $$

Bước 4: Tìm các giá trị của a và b từ véc tơ chỉ phương của đường thẳng A

Ta đã có:
$$ s = 2 - 2t $$
$$ t = \frac{-2b}{1 - 2b} $$

Thay $ t = \frac{-2b}{1 - 2b} $ vào $ s = 2 - 2t $:
$$ s = 2 - 2 \left( \frac{-2b}{1 - 2b} \right) $$
$$ s = 2 + \frac{4b}{1 - 2b} $$
$$ s = \frac{2(1 - 2b) + 4b}{1 - 2b} $$
$$ s = \frac{2 - 4b + 4b}{1 - 2b} $$
$$ s = \frac{2}{1 - 2b} $$

Do $ s = \frac{-1}{1 + a - 2b} $, ta có:
$$ \frac{2}{1 - 2b} = \frac{-1}{1 + a - 2b} $$
$$ 2(1 + a - 2b) = -(1 - 2b) $$
$$ 2 + 2a - 4b = -1 + 2b $$
$$ 2a - 6b = -3 $$
$$ 2a = 6b - 3 $$
$$ a = 3b - \frac{3}{2} $$

Vì véc tơ chỉ phương của đường thẳng A là $(1, a, b)$, ta có:
$$ a + b = 3b - \frac{3}{2} + b $$
$$ a + b = 4b - \frac{3}{2} $$

Để $ a + b $ là số nguyên, ta chọn $ b = \frac{1}{2} $:
$$ a = 3 \left( \frac{1}{2} \right) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 $$
$$ a + b = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

Vậy $ a + b = \frac{1}{2} $.

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1; 2) đường thẳng d / ((x + 1)/2) = y/1 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P) / x + y - 2z + 5 = 0 . Xét đường thẳng A cắt d và (P) tại hai điểm M, N sao cho A là t...