Đáp án giúp toiii với $C.~(4;+\infty).$ $D.~(-\infty;2).$,$A.~10$,PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), đ) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{2x-3}{x^2+4}.$,$a)~f(24)=\frac9{116}.$,b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ nhận trục tung làm tiệm cận ngang.,c) Hàm số $f(x)$ có điểm cực đại là $x=4.$,d) Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn $[a;b]$ thì $3a+4b=5.$,Câu 2: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy,luật $v(t)=\frac1{100}t^2+\frac{13}{30}t(m/s),$ trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động.,Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng,chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng $a(m/s^2)$ (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây,thì đuổi kịp A.,$a)~v_n(t)=at$,b) Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là $\frac{375}2m.$,c) Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là $\frac{225a}2m.$,d) Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 (m/s),Câu 3: Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $2x+y+2z-3=0.$,a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(2;1;2).$,b) Điểm $M(0;1;1)$ thuộc mặt phẳng (P).,e) Khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) bằng 2.,d) Mặt phẳng $(Q):~x-4y+z-1=0$ vuông góc với mặt phẳng (P).

Question

Accepted Answer

Câu 1: a) Ta có $f(24)=\frac{2\times 24-3}{24^2+4}=\frac{45}{578}$. Do đó, đáp án này sai. b) Ta xét giới hạn $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x-3}{x^2+4} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}} = 0$. Tương tự, ta cũng có $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$. Do đó, đồ thị hàm số $y=f(x)$ nhận đường thẳng $y=0$ (trục hoành) làm tiệm cận ngang, không phải trục tung. Đáp án này sai. c) Để tìm điểm cực đại của hàm số, ta tính đạo hàm $f'(x)$: $f'(x) = \frac{(2)(x^2+4)-(2x-3)(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4)^2}$. Ta giải phương trình $f'(x) = 0$: $\frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4)^2} = 0 \Rightarrow -2x^2+6x+8 = 0 \Rightarrow x^2-3x-4 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm $x_1 = 4$ và $x_2 = -1$. Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng $( -\infty, -1 )$, $( -1, 4 )$, và $( 4, +\infty )$ để xác định tính chất cực đại/cực tiểu của hàm số tại các điểm này. - Khi $x < -1$, ta chọn $x = -2$: $f'(-2) = \frac{-2(-2)^2+6(-2)+8}{((-2)^2+4)^2} = \frac{-8-12+8}{(4+4)^2} = \frac{-12}{64} < 0$. - Khi $-1 < x < 4$, ta chọn $x = 0$: $f'(0) = \frac{-2(0)^2+6(0)+8}{((0)^2+4)^2} = \frac{8}{16} > 0$. - Khi $x > 4$, ta chọn $x = 5$: $f'(5) = \frac{-2(5)^2+6(5)+8}{((5)^2+4)^2} = \frac{-50+30+8}{(25+4)^2} = \frac{-12}{729} < 0$. Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 4$. Đáp án này đúng. d) Ta cần tìm tập giá trị của hàm số $f(x) = \frac{2x-3}{x^2+4}$. Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta xét đạo hàm $f'(x)$ đã tính ở phần trên: $f'(x) = \frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4)^2}$. Ta đã biết rằng $f'(x) = 0$ tại $x = 4$ và $x = -1$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - $f(4) = \frac{2(4)-3}{4^2+4} = \frac{8-3}{16+4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. - $f(-1) = \frac{2(-1)-3}{(-1)^2+4} = \frac{-2-3}{1+4} = \frac{-5}{5} = -1$. Ta cũng cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$ và $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$. Do đó, tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1; \frac{1}{4}]$. Ta có $a = -1$ và $b = \frac{1}{4}$. Tính $3a + 4b$: $3a + 4b = 3(-1) + 4(\frac{1}{4}) = -3 + 1 = -2$. Do đó, $3a + 4b = -2$. Đáp án này sai. Kết luận: Đáp án đúng là c). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Xác định vận tốc của chất điểm B Chất điểm B xuất phát từ trạng thái nghỉ và có gia tốc $a$ (m/s²). Do đó, vận tốc của B theo thời gian $t$ là: $$ v_B(t) = at $$ Bước 2: Xác định quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây Quãng đường chất điểm A đi được trong thời gian $t$ là: $$ s_A(t) = \int_0^t v_A(t) \, dt = \int_0^t \left( \frac{1}{100}t^2 + \frac{13}{30}t \right) \, dt $$ $$ s_A(t) = \left[ \frac{1}{300}t^3 + \frac{13}{60}t^2 \right]_0^t $$ $$ s_A(25) = \frac{1}{300}(25)^3 + \frac{13}{60}(25)^2 $$ $$ s_A(25) = \frac{1}{300} \cdot 15625 + \frac{13}{60} \cdot 625 $$ $$ s_A(25) = \frac{15625}{300} + \frac{8125}{60} $$ $$ s_A(25) = \frac{15625}{300} + \frac{40625}{300} $$ $$ s_A(25) = \frac{56250}{300} = 187.5 \text{ m} $$ Bước 3: Xác định quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây Chất điểm B xuất phát chậm hơn 10 giây so với A, do đó sau 15 giây kể từ khi B xuất phát, tổng thời gian kể từ khi A xuất phát là 25 giây. Quãng đường B đi được trong 15 giây là: $$ s_B(15) = \int_0^{15} v_B(t) \, dt = \int_0^{15} at \, dt $$ $$ s_B(15) = \left[ \frac{1}{2}at^2 \right]_0^{15} $$ $$ s_B(15) = \frac{1}{2}a(15)^2 $$ $$ s_B(15) = \frac{225a}{2} \text{ m} $$ Bước 4: Xác định vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A Vì B đuổi kịp A sau 15 giây kể từ khi B xuất phát, tức là sau 25 giây kể từ khi A xuất phát, vận tốc của B tại thời điểm này là: $$ v_B(15) = a \cdot 15 $$ $$ v_B(15) = 15a $$ Bước 5: Xác định giá trị của $a$ Do B đuổi kịp A sau 15 giây, quãng đường B đi được phải bằng quãng đường A đi được trong 25 giây: $$ s_B(15) = s_A(25) $$ $$ \frac{225a}{2} = 187.5 $$ $$ 225a = 375 $$ $$ a = \frac{375}{225} = \frac{5}{3} \text{ m/s}^2 $$ Bước 6: Xác định vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A $$ v_B(15) = 15a = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25 \text{ m/s} $$ Kết luận - Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/s. - Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 187.5 m. - Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là $\frac{225a}{2}$ m. - Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/s. Đáp số: a) $v_B(t) = \frac{5}{3}t$ b) Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 187.5 m. c) Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là $\frac{225a}{2}$ m. d) Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/s. Câu 3: a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;1;2).$ Đúng vì phương trình mặt phẳng (P) là $2x + y + 2z - 3 = 0$, do đó vectơ pháp tuyến của nó là $\overrightarrow{n} = (2;1;2)$. b) Điểm $M(0;1;1)$ thuộc mặt phẳng (P). Thay tọa độ của điểm $M(0;1;1)$ vào phương trình mặt phẳng (P): $$2(0) + 1 + 2(1) - 3 = 0 + 1 + 2 - 3 = 0.$$ Vậy điểm $M(0;1;1)$ thuộc mặt phẳng (P). c) Khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) bằng 2. Khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$$ Ở đây, $a = 2$, $b = 1$, $c = 2$, $d = -3$, và $(x_0, y_0, z_0) = (3, 0, 0)$. $$d = \frac{|2(3) + 1(0) + 2(0) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|6 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1.$$ Vậy khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) là 1, không phải 2. d) Mặt phẳng $(Q):~x - 4y + z - 1 = 0$ vuông góc với mặt phẳng (P). Hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_1} = (2;1;2)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n_2} = (1;-4;1)$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là: $$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0.$$ Vậy hai mặt phẳng vuông góc nhau. Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.