Giải giúp tôi

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Đồ thị của hàm số $y = f(x) = \log_{0}\frac{x-7}{x-5}$ có 2 đường tiệm cận đứng. Trước tiên, ta cần xác định điều kiện xác định của hàm số: \[ \frac{x-7}{x-5} > 0 \] Phân tích dấu của biểu thức $\frac{x-7}{x-5}$: - Khi $x < 5$, cả tử và mẫu đều âm, nên $\frac{x-7}{x-5} > 0$. - Khi $5 < x < 7$, tử âm và mẫu dương, nên $\frac{x-7}{x-5} < 0$. - Khi $x > 7$, cả tử và mẫu đều dương, nên $\frac{x-7}{x-5} > 0$. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 5) \cup (7, +\infty) \] Tiệm cận đứng của hàm số là các giá trị của $x$ làm cho mẫu số bằng 0, tức là $x = 5$ và $x = 7$. Vậy đồ thị của hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 5$ và $x = 7$. b) Tập xác định của hàm số là $D = (-\infty, 5) \cup (7, +\infty)$. Tập xác định đã được xác định ở trên là đúng. c) Đồ thị của hàm số có một đường tiệm cận ngang. Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to +\infty} \log_{0}\frac{x-7}{x-5} = \log_{0} 1 = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \log_{0}\frac{x-7}{x-5} = \log_{0} 1 = 0 \] Vậy đường tiệm cận ngang của hàm số là $y = 0$. d) Gọi $M(x_u; y_u)$ và $N(x_v; y_v)$ là hai điểm thuộc đồ thị sao cho $x_u$ và $x_v$ thỏa mãn $0 < x_u - x_v < 2$. Khi đó $|y_u - y_v|$ luôn lớn hơn một giá trị nào đó. Ta xét hiệu giữa hai giá trị của hàm số tại hai điểm $x_u$ và $x_v$: \[ |y_u - y_v| = \left|\log_{0}\frac{x_u-7}{x_u-5} - \log_{0}\frac{x_v-7}{x_v-5}\right| \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ = \left|\log_{0}\left(\frac{\frac{x_u-7}{x_u-5}}{\frac{x_v-7}{x_v-5}}\right)\right| = \left|\log_{0}\left(\frac{(x_u-7)(x_v-5)}{(x_u-5)(x_v-7)}\right)\right| \] Khi $0 < x_u - x_v < 2$, ta thấy rằng khoảng cách giữa hai giá trị của hàm số sẽ phụ thuộc vào khoảng cách giữa $x_u$ và $x_v$. Tuy nhiên, do tính chất của hàm logarit, khi khoảng cách giữa $x_u$ và $x_v$ nhỏ, hiệu giữa hai giá trị của hàm số cũng sẽ nhỏ. Do đó, $|y_u - y_v|$ sẽ luôn lớn hơn một giá trị nào đó tùy thuộc vào khoảng cách giữa $x_u$ và $x_v$. Kết luận: a) Đúng, đồ thị của hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 5$ và $x = 7$. b) Đúng, tập xác định của hàm số là $D = (-\infty, 5) \cup (7, +\infty)$. c) Đúng, đồ thị của hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = 0$. d) Đúng, $|y_u - y_v|$ luôn lớn hơn một giá trị nào đó tùy thuộc vào khoảng cách giữa $x_u$ và $x_v$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng \(d\): Đồ thị \(y = x^3 - 2x^2 - 3x + 4\) và đường thẳng \(y = 2x - 2\) cắt nhau tại ba điểm \(A(-2; 6)\), \(B(1; 0)\), và \(C(3; 4)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng \(d\) từ \(x = -2\) đến \(x = 3\) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{-2}^{3} \left| (x^3 - 2x^2 - 3x + 4) - (2x - 2) \right| \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \int_{-2}^{3} \left| x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \right| \, dx \] Phân tích biểu thức \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) để tìm các đoạn tích phân: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x - 1)(x - 3) \] Do đó, biểu thức này đổi dấu tại \(x = -2\), \(x = 1\), và \(x = 3\). Ta chia tích phân thành các đoạn: \[ S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \, dx + \int_{1}^{3} -(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \, dx \] Tính từng đoạn: \[ \int_{-2}^{1} (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{1} \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) - \left( \frac{16}{4} - \frac{-16}{3} - \frac{20}{2} - 12 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) - \left( 4 + \frac{16}{3} - 10 - 12 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) - \left( -8 + \frac{16}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) - \left( -8 + \frac{16}{3} \right) \] \[ = \frac{253}{12} \] b) Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị (C) tại ba điểm \(A(-2; 6)\), \(B(1; 0)\), và \(C(3; 4)\): Đã được xác nhận trong phần a. c) Diện tích hình phẳng tạo bởi đồ thị (C), trục hoành, đường thẳng \(x = -1\), và \(x = 2\): Diện tích này được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{-1}^{2} |x^3 - 2x^2 - 3x + 4| \, dx \] Phân tích biểu thức \(x^3 - 2x^2 - 3x + 4\) để tìm các đoạn tích phân: \[ x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = (x + 1)(x - 1)(x - 4) \] Do đó, biểu thức này đổi dấu tại \(x = -1\), \(x = 1\), và \(x = 4\). Ta chia tích phân thành các đoạn: \[ S = \int_{-1}^{1} (x^3 - 2x^2 - 3x + 4) \, dx + \int_{1}^{2} -(x^3 - 2x^2 - 3x + 4) \, dx \] Tính từng đoạn: \[ \int_{-1}^{1} (x^3 - 2x^2 - 3x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ = \frac{21}{4} \] d) Tỉ số \(\frac{S_1}{S_2}\): Từ các kết quả trên, ta có: \[ S_1 = \frac{253}{12} \] \[ S_2 = \frac{21}{4} \] Tỉ số: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{253}{12}}{\frac{21}{4}} = \frac{253}{12} \times \frac{4}{21} = \frac{253 \times 4}{12 \times 21} = \frac{1012}{252} = \frac{63}{16} \] Đáp số: \[ \boxed{\frac{63}{16}} \] Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính xác suất người hút thuốc lá Số người hút thuốc lá là: \[ 1124 + 1126 = 2250 \] Tổng số người được khảo sát là 10 000 người. Xác suất để người đó hút thuốc lá là: \[ P(\text{hút thuốc lá}) = \frac{2250}{10000} = 0.225 = 22.5\% \] Bước 2: Tính xác suất người bị ung thư phổi Số người bị ung thư phổi là: \[ 1124 + 276 = 1400 \] Xác suất để người đó bị ung thư phổi là: \[ P(\text{ung thư phổi}) = \frac{1400}{10000} = 0.14 = 14\% \] Bước 3: Tính xác suất người hút thuốc lá bị ung thư phổi Số người hút thuốc lá bị ung thư phổi là 1124 người. Xác suất người hút thuốc lá bị ung thư phổi là: \[ P(\text{ung thư phổi} | \text{hút thuốc lá}) = \frac{1124}{2250} \approx 0.5 \] Bước 4: Tính xác suất người không hút thuốc lá bị ung thư phổi Số người không hút thuốc lá bị ung thư phổi là 276 người. Số người không hút thuốc lá là: \[ 276 + 7474 = 7750 \] Xác suất người không hút thuốc lá bị ung thư phổi là: \[ P(\text{ung thư phổi} | \text{không hút thuốc lá}) = \frac{276}{7750} \approx 0.0356 \] Bước 5: So sánh xác suất người hút thuốc lá bị ung thư phổi và người không hút thuốc lá bị ung thư phổi Tỷ lệ giữa xác suất người hút thuốc lá bị ung thư phổi và người không hút thuốc lá bị ung thư phổi là: \[ \frac{P(\text{ung thư phổi} | \text{hút thuốc lá})}{P(\text{ung thư phổi} | \text{không hút thuốc lá})} = \frac{0.5}{0.0356} \approx 14 \] Kết luận: - Xác suất để người đó hút thuốc lá là 22.5%, không phải 14%. - Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn so với người không hút thuốc lá. - Xác suất để người đó bị ung thư phổi là 14%. - Người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi cao gấp khoảng 14 lần so với người không hút thuốc lá. Do đó, đáp án đúng là: d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi cao gấp khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá. Câu 4: a) Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;4;-4).$ Phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{\begin{array}{l}x=4-3t\\y=-1+4t\\z=2-4t\end{array}\right..$ Thay vào phương trình mặt phẳng $(a)$ ta được $4(4-3t)+2(-1+4t)-(2-4t)-12=0\Leftrightarrow t=0.$ Vậy đường thẳng $BC$ cắt mặt phẳng $(a)$ tại điểm $(4;-1;2).$ b) Mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(4;2;-1).$ Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $4(x-3)+2(y-1)-(z+1)=0$ hay $4x+2y-z-15=0.$ Khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{|4\times (-4)+2\times 4-(-1)-15|}{\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{26}{\sqrt{21}}.$ Vậy mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ có bán kính bằng $\frac{26}{\sqrt{21}}.$ c) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;2;-1).$ Phương trình đường thẳng $AC$ là $\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\y=1+2t\\z=-1-t\end{array}\right..$ d) Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(a).$ Ta có $\overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{n}=(4k;2k;-k).$ Suy ra $H=(3+4k;1+2k;-1-k).$ Thay vào phương trình mặt phẳng $(a)$ ta được $4(3+4k)+2(1+2k)-(-1-k)-12=0\Leftrightarrow k=-\frac{1}{21}.$ Vậy $H=(\frac{59}{21};\frac{19}{21};-\frac{20}{21}).$ Ta có $|AM|^2=|AH|^2+|HM|^2\ge |AH|^2.$ Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv H.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|AM|$ là $|AH|=\sqrt{(3-\frac{59}{21})^2+(1-\frac{19}{21})^2+(-1+\frac{20}{21})^2}=\frac{\sqrt{58}}{21}.$