giupppp tuiiiiiii u

Câu 1. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Ta tính trung bình cộng của mỗi nhóm bằng cách lấy trung điểm của khoảng đó. - Sau đó nhân trung điểm của mỗi nhóm với số lượng phần tử trong nhóm đó, rồi chia tổng này cho tổng số phần tử của mẫu. 2. Tính phương sai: - Phương sai được tính bằng cách lấy bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng của giá trị đó, rồi chia tổng này cho tổng số phần tử của mẫu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu | Nhóm | Trung điểm | Số ngày | |------|------------|---------| | [2,7;3,0) | 2,85 | 3 | | [3,0;3,3) | 3,15 | 6 | | [3,3;3,6) | 3,45 | 5 | | [3,6;3,9) | 3,75 | 4 | | [3,9;4,2) | 4,05 | 2 | Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(2,85 \times 3) + (3,15 \times 6) + (3,45 \times 5) + (3,75 \times 4) + (4,05 \times 2)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{77,8}{20} \] \[ \bar{x} = 3,89 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là trung điểm của nhóm thứ i. - \( \bar{x} \) là trung bình cộng của mẫu số liệu. - \( n \) là tổng số phần tử của mẫu. Ta tính từng phần như sau: \[ \begin{align} (2,85 - 3,89)^2 & = (-1,04)^2 = 1,0816 \\ (3,15 - 3,89)^2 & = (-0,74)^2 = 0,5476 \\ (3,45 - 3,89)^2 & = (-0,44)^2 = 0,1936 \\ (3,75 - 3,89)^2 & = (-0,14)^2 = 0,0196 \\ (4,05 - 3,89)^2 & = (0,16)^2 = 0,0256 \\ \end{align} \] Nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{align} 3 \times 1,0816 & = 3,2448 \\ 6 \times 0,5476 & = 3,2856 \\ 5 \times 0,1936 & = 0,968 \\ 4 \times 0,0196 & = 0,0784 \\ 2 \times 0,0256 & = 0,0512 \\ \end{align} \] Tổng các giá trị trên: \[ 3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512 = 7,628 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{7,628}{20} = 0,3814 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,3814. Đáp án đúng là: B. 0,3814. Câu 2. Để tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 1\), \(x = 3\), \(y = 0\) và đồ thị của hàm số \(f(x) = x^2\) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \(a\) và \(b\) là cận trên và cận dưới của đoạn quay, ở đây là \(x = 1\) và \(x = 3\). - \(f(x)\) là hàm số tạo ra hình phẳng, ở đây là \(f(x) = x^2\). Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{3} [x^2]^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{3} x^4 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{D.}~\pi\int^3_1x^4dx. \] Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công sai của cấp số cộng. 2. Viết công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. 3. So sánh với các đáp án đã cho để tìm ra đáp án đúng. Bước 1: Xác định công sai của cấp số cộng Cấp số cộng $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{10} = 19$. Ta biết rằng công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào số hạng thứ 10: \[ u_{10} = u_1 + 9d \] \[ 19 = 1 + 9d \] \[ 9d = 18 \] \[ d = 2 \] Bước 2: Viết công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính bằng công thức: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Thay $u_1 = 1$ và $d = 2$ vào công thức trên: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 + 2n - 2\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2n \] \[ S_n = n^2 \] Bước 3: So sánh với các đáp án đã cho Theo các đáp án đã cho: \[ A.~n^2 \] \[ B.~(n-1)^2 \] \[ C.~(2n-1)^2 \] \[ D.~(n+1)^2 \] Ta thấy rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $n^2$, do đó đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~n^2} \] Câu 4. Để xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ được viết dưới dạng: \[ \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z-2}{2} \] Từ đây, ta có thể thấy rằng véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là $(2, -1, 2)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định véctơ chỉ phương đúng đắn: A. $\overrightarrow{u_1} = (-4, 2, 4)$ Ta thấy rằng: \[ (-4, 2, 4) = -2 \times (2, -1, 2) \] Do đó, $\overrightarrow{u_1}$ là một bội của $(2, -1, 2)$, nhưng nó không phải là véctơ chỉ phương chính xác của đường thẳng $(d)$ vì nó không có cùng hướng. B. $\overrightarrow{u_4} = (-4, 2, -4)$ Ta thấy rằng: \[ (-4, 2, -4) \neq k \times (2, -1, 2) \quad \text{(không tồn tại số thực } k \text{ sao cho điều này đúng)} \] Do đó, $\overrightarrow{u_4}$ không phải là véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$. C. $\overrightarrow{u_2} = (2, -1, 2)$ Ta thấy rằng: \[ (2, -1, 2) = 1 \times (2, -1, 2) \] Do đó, $\overrightarrow{u_2}$ chính xác là véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$. D. $\overrightarrow{u_3} = (2, 1, -2)$ Ta thấy rằng: \[ (2, 1, -2) \neq k \times (2, -1, 2) \quad \text{(không tồn tại số thực } k \text{ sao cho điều này đúng)} \] Do đó, $\overrightarrow{u_3}$ không phải là véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$. Vậy, véctơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là $\overrightarrow{u_2} = (2, -1, 2)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{u_2} = (2, -1, 2)$. Câu 5. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \ln |x^2 - 1| \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức bên trong hàm số tự nhiên \( \ln \) phải dương. 1. Xác định điều kiện để biểu thức \( |x^2 - 1| > 0 \): - Ta biết rằng \( |x^2 - 1| \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). - Biểu thức \( |x^2 - 1| \) sẽ bằng 0 khi \( x^2 - 1 = 0 \), tức là \( x = \pm 1 \). 2. Xác định tập hợp các giá trị \( x \) làm cho \( |x^2 - 1| > 0 \): - \( |x^2 - 1| > 0 \) khi \( x^2 - 1 \neq 0 \), tức là \( x \neq \pm 1 \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \ln |x^2 - 1| \) là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Tập xác định của hàm số là: \[ \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}. \] Câu 6. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 2x$, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số $f(x) = \sin 2x$ là hàm lượng giác có dạng $\sin(ax)$, trong đó $a = 2$. Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác. Theo công thức nguyên hàm của hàm lượng giác, ta có: \[ \int \sin(ax) \, dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C \] Áp dụng vào hàm số $f(x) = \sin 2x$, ta có: \[ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{\cos(2x)}{2} + C \] Bước 3: Kết luận. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 2x$ là: \[ -\frac{\cos(2x)}{2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~-\frac{\cos2x}{2}+C. \] Câu 7. Để xác định số lượng điểm cực trị của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm: \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 \] Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 0 \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 < 0 \] (vì \( x < 0 \) và các thừa số còn lại đều dương) - Khi \( 0 < x < 1 \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 > 0 \] (vì \( x > 0 \), \( (x-1)^2 > 0 \), \( (x-2)^3 < 0 \), \( (x-3)^4 > 0 \)) - Khi \( 1 < x < 2 \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 < 0 \] (vì \( x > 0 \), \( (x-1)^2 > 0 \), \( (x-2)^3 < 0 \), \( (x-3)^4 > 0 \)) - Khi \( 2 < x < 3 \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 > 0 \] (vì \( x > 0 \), \( (x-1)^2 > 0 \), \( (x-2)^3 > 0 \), \( (x-3)^4 > 0 \)) - Khi \( x > 3 \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4 > 0 \] (vì tất cả các thừa số đều dương) Bước 3: Xác định các điểm cực trị dựa vào sự thay đổi dấu của đạo hàm: - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) không thay đổi dấu (cùng dấu ở cả hai phía), do đó \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \( f'(x) \) không thay đổi dấu (cùng dấu ở cả hai phía), do đó \( x = 3 \) không phải là điểm cực trị. Kết luận: Hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 8. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^3 - x + 1$ tại điểm có hoành độ $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại điểm $x = 1$: \[ f(1) = 1^3 - 1 + 1 = 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x + 1) = 3x^2 - 1 \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 1$: \[ f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(1, 1)$ với hệ số góc là $f'(1) = 2$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) \] \[ y = 2(x - 1) + 1 \] \[ y = 2x - 2 + 1 \] \[ y = 2x - 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^3 - x + 1$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là: \[ y = 2x - 1 \] Đáp án đúng là: $A.~y=2x-1.$ Câu 9. Trước tiên, ta nhận thấy rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với (ABC), nên hình chiếu của SB lên (ABC) là AB. Do đó, góc giữa SB và (ABC) chính là góc $\widehat{SBA}$. Ta sẽ tính góc này dựa trên các thông tin đã cho. Trong tam giác SAB, ta có: - SA vuông góc với AB (vì SA vuông góc với (ABC)). - AB = a. - SB = 2a. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông SAB, ta có: \[ SA^2 + AB^2 = SB^2 \] \[ SA^2 + a^2 = (2a)^2 \] \[ SA^2 + a^2 = 4a^2 \] \[ SA^2 = 3a^2 \] \[ SA = a\sqrt{3} \] Bây giờ, ta tính góc $\widehat{SBA}$ bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông: \[ \sin(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{SB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ta biết rằng $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, do đó: \[ \widehat{SBA} = 60^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là $60^\circ$. Đáp án đúng là: B. $60^\circ$.