Tìm min P. Câu 6. (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $ac=4b+c.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$P=(\frac{a^2}3+\frac{3c^2}4)c+3b^2+\frac{225}{(b+c)(c+3b)}.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 6.
Điều kiện: $a, b, c > 0$.

Ta có:
$$ ac = 4b + c $$
$$ \Rightarrow a = \frac{4b + c}{c} $$
Biểu thức $ P $ cần tìm giá trị nhỏ nhất là:
$$ P = \left(\frac{a^2}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
Thay $ a = \frac{4b + c}{c} $ vào biểu thức $ P $:
$$ P = \left(\frac{\left(\frac{4b + c}{c}\right)^2}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
$$ = \left(\frac{(4b + c)^2}{3c^2} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
$$ = \left(\frac{16b^2 + 8bc + c^2}{3c^2} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
$$ = \left(\frac{16b^2 + 8bc + c^2}{3c} + \frac{3c^3}{4}\right) + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
$$ = \frac{16b^2 + 8bc + c^2}{3c} + \frac{3c^3}{4} + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $$
Bây giờ, ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số $ \frac{16b^2}{3c}, \frac{8bc}{3c}, \frac{c^2}{3c}, \frac{3c^3}{4}, 3b^2, \frac{225}{(b+c)(c+3b)} $:
$$ \frac{16b^2}{3c} + \frac{8bc}{3c} + \frac{c^2}{3c} + \frac{3c^3}{4} + 3b^2 + \frac{225}{(b+c)(c+3b)} \geq 6 \sqrt[6]{\frac{16b^2}{3c} \cdot \frac{8bc}{3c} \cdot \frac{c^2}{3c} \cdot \frac{3c^3}{4} \cdot 3b^2 \cdot \frac{225}{(b+c)(c+3b)}} $$
Tính giá trị trong căn lũy thừa:
$$ \frac{16b^2}{3c} \cdot \frac{8bc}{3c} \cdot \frac{c^2}{3c} \cdot \frac{3c^3}{4} \cdot 3b^2 \cdot \frac{225}{(b+c)(c+3b)} = \frac{16b^2 \cdot 8bc \cdot c^2 \cdot 3c^3 \cdot 3b^2 \cdot 225}{3c \cdot 3c \cdot 3c \cdot 4 \cdot (b+c)(c+3b)} $$
$$ = \frac{16 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 225 \cdot b^4 \cdot c^6}{3^3 \cdot 4 \cdot (b+c)(c+3b)} $$
$$ = \frac{16 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 225 \cdot b^4 \cdot c^6}{108 \cdot (b+c)(c+3b)} $$
$$ = \frac{9600 \cdot b^4 \cdot c^6}{108 \cdot (b+c)(c+3b)} $$
$$ = \frac{800 \cdot b^4 \cdot c^6}{9 \cdot (b+c)(c+3b)} $$
Do đó:
$$ 6 \sqrt[6]{\frac{800 \cdot b^4 \cdot c^6}{9 \cdot (b+c)(c+3b)}} $$
Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần $ b = c $. Thay $ b = c $ vào biểu thức ban đầu:
$$ P = \left(\frac{a^2}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3c^2 + \frac{225}{(c+c)(c+3c)} $$
$$ = \left(\frac{a^2}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3c^2 + \frac{225}{4c^2} $$
Khi $ b = c $, ta có:
$$ a = \frac{4c + c}{c} = 5 $$
Thay $ a = 5 $ và $ b = c $ vào biểu thức:
$$ P = \left(\frac{5^2}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3c^2 + \frac{225}{4c^2} $$
$$ = \left(\frac{25}{3} + \frac{3c^2}{4}\right)c + 3c^2 + \frac{225}{4c^2} $$
$$ = \frac{25c}{3} + \frac{3c^3}{4} + 3c^2 + \frac{225}{4c^2} $$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ \frac{25c}{3} + \frac{3c^3}{4} + 3c^2 + \frac{225}{4c^2} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{25c}{3} \cdot \frac{3c^3}{4} \cdot 3c^2 \cdot \frac{225}{4c^2}} $$
$$ = 4 \sqrt[4]{\frac{25c \cdot 3c^3 \cdot 3c^2 \cdot 225}{3 \cdot 4 \cdot 4c^2}} $$
$$ = 4 \sqrt[4]{\frac{25 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 225 \cdot c^6}{48c^2}} $$
$$ = 4 \sqrt[4]{\frac{25 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 225 \cdot c^4}{48}} $$
$$ = 4 \sqrt[4]{\frac{25 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 225}{48}} $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.