Chứng minh các số trên là độ dài cạnh tam giác.

Bài 3 Giả sử $a \leq b \leq c$. Ta cần chứng minh rằng $\sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)} > \sqrt[2023]{P(c)}$. Do $P(x)$ là đa thức bậc 2023 với các hệ số thực không âm, ta có: \[ P(x) = a_{2023}x^{2023} + a_{2022}x^{2022} + \cdots + a_1x + a_0 \] với $a_i \geq 0$ cho mọi $i$. Ta thấy rằng $P(x)$ là hàm số đồng biến trên đoạn $[0, +\infty)$ vì các hệ số không âm và bậc cao nhất là 2023. Do đó, nếu $a \leq b \leq c$, thì $P(a) \leq P(b) \leq P(c)$. Bây giờ, ta xét biểu thức $\sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)}$ và so sánh nó với $\sqrt[2023]{P(c)}$. Vì $P(x)$ là hàm số đồng biến, ta có: \[ P(a) \leq P(b) \leq P(c) \] Do đó: \[ \sqrt[2023]{P(a)} \leq \sqrt[2023]{P(b)} \leq \sqrt[2023]{P(c)} \] Ta cần chứng minh: \[ \sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)} > \sqrt[2023]{P(c)} \] Xét hàm số $f(x) = \sqrt[2023]{x}$. Hàm này là hàm đồng biến và lõm (concave) trên $(0, +\infty)$. Theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lõm, ta có: \[ f(P(a)) + f(P(b)) > f(P(c)) \] nếu $P(a) + P(b) > P(c)$. Vì $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn, ta có: \[ a + b > c \] Do $P(x)$ là hàm đồng biến, ta có: \[ P(a) + P(b) > P(c) \] Vậy theo bất đẳng thức Jensen, ta có: \[ \sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)} > \sqrt[2023]{P(c)} \] Từ đó suy ra $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.