cứuuuu với ạaa

Câu 52. Để hàm số $y=\frac{x-1}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;2)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số âm trên khoảng đó. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x-1}{x-m} \right)' = \frac{(x-m) - (x-1)}{(x-m)^2} = \frac{-m+1}{(x-m)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm âm: \[ y' < 0 \] \[ \frac{-m+1}{(x-m)^2} < 0 \] Do $(x-m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = m$, nhưng $x$ không thể bằng $m$ vì nó nằm trong khoảng $(-\infty;2)$), nên ta chỉ cần: \[ -m + 1 < 0 \] \[ m > 1 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện để hàm số xác định trên khoảng $(-\infty;2)$: Hàm số $y = \frac{x-1}{x-m}$ xác định khi $x \neq m$. Để hàm số xác định trên khoảng $(-\infty;2)$, ta cần $m \geq 2$. Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ m > 1 \text{ và } m \geq 2 \] Như vậy, điều kiện cuối cùng là: \[ m \geq 2 \] Đáp án đúng là: $D.~m \geq 2$. Câu 53. Để hàm số $y=\frac{m^2x+5}{2\pi x+1}$ nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty)$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm âm trên khoảng $(3;+\infty)$. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{m^2x + 5}{2\pi x + 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(m^2x + 5)'(2\pi x + 1) - (m^2x + 5)(2\pi x + 1)'}{(2\pi x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{m^2(2\pi x + 1) - (m^2x + 5)(2\pi)}{(2\pi x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2\pi m^2 x + m^2 - 2\pi m^2 x - 10\pi}{(2\pi x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{m^2 - 10\pi}{(2\pi x + 1)^2} \] Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty)$, ta cần: \[ y' < 0 \] \[ \frac{m^2 - 10\pi}{(2\pi x + 1)^2} < 0 \] Vì $(2\pi x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x$, nên ta chỉ cần: \[ m^2 - 10\pi < 0 \] \[ m^2 < 10\pi \] Biết rằng $\pi \approx 3.14$, ta có: \[ 10\pi \approx 31.4 \] \[ m^2 < 31.4 \] Do đó, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là: \[ -5 \leq m \leq 5 \] Tập hợp các số nguyên $m$ là: \[ S = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \] Tổng các phần tử của tập hợp $S$ là: \[ (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0 \] Nhưng theo đề bài, tổng các phần tử của $S$ phải là một trong các đáp án đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các đáp án: - A. 35 - B. 40 - C. 45 - D. 55 Các đáp án này đều không đúng với tổng các phần tử của tập hợp $S$. Tuy nhiên, nếu ta xét lại các giá trị nguyên của $m$ và tổng chúng, ta thấy rằng tổng các phần tử của tập hợp $S$ là 0, nhưng không có trong các đáp án đã cho. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Đáp án: Đáp án không đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 54. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đạo hàm và tính chất của hàm số. Chúng ta sẽ lần lượt giải từng câu hỏi theo yêu cầu. Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^2 - mx - 1}{1 - x} \) nghịch biến trên các khoảng xác định. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2 - mx - 1}{1 - x}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x - m)(1 - x) - (x^2 - mx - 1)(-1)}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2x^2 - m + mx + x^2 - mx - 1}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - m - 1}{(1 - x)^2} \] 2. Yêu cầu hàm số nghịch biến: \[ y' < 0 \] \[ \frac{-x^2 + 2x - m - 1}{(1 - x)^2} < 0 \] Do mẫu số \((1 - x)^2\) luôn dương, ta chỉ cần xét tử số: \[ -x^2 + 2x - m - 1 < 0 \] \[ x^2 - 2x + m + 1 > 0 \] 3. Xét dấu của tam thức bậc hai: \[ x^2 - 2x + m + 1 > 0 \] Để tam thức này luôn dương, ta cần: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(m + 1) < 0 \] \[ 4 - 4m - 4 < 0 \] \[ -4m < 0 \] \[ m > 0 \] Vậy đáp án là \( m > 0 \). Câu 55: Tập hợp các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m + 1} \) đồng biến trên khoảng \( (0, \frac{\pi}{4}) \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{\tan x - 2}{\tan x - m + 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(\sec^2 x)(\tan x - m + 1) - (\tan x - 2)(\sec^2 x)}{(\tan x - m + 1)^2} \] \[ y' = \frac{\sec^2 x (\tan x - m + 1 - \tan x + 2)}{(\tan x - m + 1)^2} \] \[ y' = \frac{\sec^2 x (3 - m)}{(\tan x - m + 1)^2} \] 2. Yêu cầu hàm số đồng biến: \[ y' > 0 \] \[ \frac{\sec^2 x (3 - m)}{(\tan x - m + 1)^2} > 0 \] Do \(\sec^2 x\) và \((\tan x - m + 1)^2\) luôn dương, ta chỉ cần: \[ 3 - m > 0 \] \[ m < 3 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Trên khoảng \( (0, \frac{\pi}{4}) \), \(\tan x\) nằm trong khoảng \( (0, 1) \). Để tránh mẫu số bằng 0: \[ \tan x - m + 1 \neq 0 \] \[ 1 - m \neq 0 \] \[ m \neq 1 \] Vậy đáp án là \( m \in (-\infty, 1) \cup (1, 3) \). Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{\sin x + m}{\sin x - 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{\sin x + m}{\sin x - 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(\cos x)(\sin x - 1) - (\sin x + m)(\cos x)}{(\sin x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{\cos x (\sin x - 1 - \sin x - m)}{(\sin x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{\cos x (-1 - m)}{(\sin x - 1)^2} \] 2. Yêu cầu hàm số nghịch biến: \[ y' < 0 \] \[ \frac{\cos x (-1 - m)}{(\sin x - 1)^2} < 0 \] Do \((\sin x - 1)^2\) luôn dương và \(\cos x < 0\) trên khoảng \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \): \[ -1 - m > 0 \] \[ m < -1 \] Vậy đáp án là \( m < -1 \). Câu 57: Cho hàm số \( f(x) = \frac{\sqrt{1 - x + 1}}{\sqrt{1 - x + m}} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) thuộc \([-5, 5]\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-3, 0)\)? 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{1 - x + m}} \] \[ f'(x) = \left(\frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{1 - x + m}}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{\left(\frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}\right)(\sqrt{1 - x + m}) - (\sqrt{2 - x})\left(\frac{-1}{2\sqrt{1 - x + m}}\right)}{1 - x + m} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}\sqrt{1 - x + m} + \frac{\sqrt{2 - x}}{2\sqrt{1 - x + m}}}{1 - x + m} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}\sqrt{1 - x + m} + \frac{\sqrt{2 - x}}{2\sqrt{1 - x + m}}}{1 - x + m} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}\sqrt{1 - x + m} + \frac{\sqrt{2 - x}}{2\sqrt{1 - x + m}}}{1 - x + m} \] 2. Yêu cầu hàm số đồng biến: \[ f'(x) > 0 \] \[ \frac{\frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}\sqrt{1 - x + m} + \frac{\sqrt{2 - x}}{2\sqrt{1 - x + m}}}{1 - x + m} > 0 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Trên khoảng \((-3, 0)\), \(1 - x + m > 0\): \[ 1 - (-3) + m > 0 \] \[ 4 + m > 0 \] \[ m > -4 \] Vậy các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-5, 5]\) thỏa mãn là \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\). Số lượng là 9 giá trị. Câu 58: Cho hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) \) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \( f'(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên \((1, +\infty)\). B. Hàm số đồng biến trên \((-∞, -1)\) và \((3, +∞)\). C. Hàm số nghịch biến trên \((-∞, 1)\). D. Hàm số đồng biến trên \((-1, 3)\). Lời giải: - Từ đồ thị, ta thấy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((-1, 3)\), do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Vậy đáp án là D. Câu 59: Cho hàm số bậc bốn \( f(x) \), có đạo hàm là \( f'(x) \). Đồ thị hàm số \( f'(x) \) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \((-2, 1)\). B. Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên \((-1, 1)\). C. Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \((1, +∞)\). D. Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên \((-∞, -2)\). Lời giải: - Từ đồ thị, ta thấy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((-2, 1)\), do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-∞, -2)\), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((1, +∞)\), do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-1, 1)\), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. Vậy đáp án là B. Câu 60: Cho hàm số \( f(x) \) có \( f'(x) = x^2(x + 2) \). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-2, +∞)\). B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \((-∞, -2)\) và \((0, +∞)\). C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-∞, -2)\) và \((0, +∞)\). D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-2, 0)\). Lời giải: - \( f'(x) = x^2(x + 2) \) - \( f'(x) > 0 \) khi \( x > -2 \) và \( x \neq 0 \), do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-2, +∞)\) ngoại trừ điểm \( x = 0 \). - \( f'(x) < 0 \) khi \( x < -2 \), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞, -2)\). Vậy đáp án là C.