Tính $lim$.

Để tính $\lim u_n$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ hội tụ đến một giới hạn cụ thể. Bước 1: Xác định giới hạn của dãy số $(u_n)$ Giả sử dãy số $(u_n)$ hội tụ đến giới hạn $L$. Khi đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = L \] \[ \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = L \] \[ \lim_{n \to \infty} u_{n-1} = L \] Bước 2: Thay vào công thức đệ quy Thay vào công thức đệ quy $u_{n+1} = \frac{2u_n + u_{n-1}}{3}$, ta có: \[ L = \frac{2L + L}{3} \] \[ L = \frac{3L}{3} \] \[ L = L \] Bước 3: Giải phương trình để tìm giới hạn Phương trình này là đúng với mọi giá trị của $L$, do đó chúng ta cần thêm thông tin từ các điều kiện ban đầu để xác định giá trị cụ thể của $L$. Bước 4: Kiểm tra tính hội tụ của dãy số Ta sẽ kiểm tra tính hội tụ của dãy số bằng cách xem xét sự chênh lệch giữa các số hạng liên tiếp: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + u_{n-1}}{3} - u_n \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + u_{n-1} - 3u_n}{3} \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n + u_{n-1}}{3} \] Nhận thấy rằng: \[ |u_{n+1} - u_n| = \left|\frac{-u_n + u_{n-1}}{3}\right| = \frac{|u_n - u_{n-1}|}{3} \] Do đó, khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp giảm dần theo tỷ lệ $\frac{1}{3}$, chứng tỏ dãy số $(u_n)$ hội tụ. Bước 5: Kết luận giới hạn của dãy số Vì dãy số $(u_n)$ hội tụ và phương trình $L = \frac{2L + L}{3}$ đúng với mọi giá trị của $L$, ta suy ra giới hạn của dãy số là: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 2019 \] Đáp số: $\lim_{n \to \infty} u_n = 2019$