Tìm giá trị m.

Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 2 \): \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+6}}{x-2} \] Ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+6}}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6}}{\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6}} \] Tuy nhiên, việc này không dễ dàng thực hiện trực tiếp. Thay vào đó, ta có thể sử dụng phương pháp khử dạng vô định bằng cách nhân liên hợp khác hoặc sử dụng phương pháp L'Hôpital (nếu cho phép). Ta sẽ sử dụng phương pháp L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+6}}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+2}) - \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x+6})}{\frac{d}{dx}(x-2)} \] Tính đạo hàm của các biểu thức trong tử số: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x+2}) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \] \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x+6}) = \frac{1}{3(x+6)^{2/3}} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}} - \frac{1}{3(x+6)^{2/3}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{4}} - \frac{1}{3(8)^{2/3}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{6} \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ f(2) = \frac{1}{6} \] Theo định nghĩa của hàm số: \[ f(2) = m + 1 \] Do đó: \[ m + 1 = \frac{1}{6} \] \[ m = \frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6} \] Vậy giá trị của \( m \) là: \[ m = -\frac{5}{6} \]