giải chi tiết đúng sai Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC=3, AB=2, biết hình chiếu vuông góc của C′ trên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm A và C′A=4. Chọn...

Câu 2. a) Vì C' có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm A nên tọa độ của C' là $(0;0;4)$. b) Ta có: - $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = (0, 2, 0) - (3, 0, 0) = (-3, 2, 0)$ - $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OA} = (0, 0, 4) - (0, 0, 0) = (0, 0, 4)$ - $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} = (0, 2, 0) - (0, 0, 0) = (0, 2, 0)$ Do đó: \[ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{B'A'} = (-3, 2, 0) + (0, 0, 4) + (0, 2, 0) = (-3, 4, 4) \] Độ dài của vectơ này là: \[ |\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{B'A'}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \] c) Góc giữa CC' và mặt phẳng (ABC) là góc giữa CC' và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC). Vì C' có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm A, nên góc giữa CC' và mặt phẳng (ABC) là góc giữa CC' và CA. Ta có: - $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OC} = (0, 0, 4) - (3, 0, 0) = (-3, 0, 4)$ - $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = (0, 0, 0) - (3, 0, 0) = (-3, 0, 0)$ Ta tính cos của góc giữa hai vectơ này: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{CC'} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CC'}| |\overrightarrow{CA}|} = \frac{(-3, 0, 4) \cdot (-3, 0, 0)}{\sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{9}{\sqrt{9 + 16} \cdot 3} = \frac{9}{5 \cdot 3} = \frac{3}{5} \] Vậy góc giữa CC' và mặt phẳng (ABC) là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \neq 60^\circ \] d) Ta có: \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MB^2 \] \[ (MB - MC) \cdot (MB + MC) = 0 \] \[ \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{M(C + B)} = 0 \] \[ (3, -2, 0) \cdot (x, y, z) = 0 \] \[ 3x - 2y = 0 \] \[ 3x - 2y + 0z + 0 = 0 \] Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MB^2$ là mặt phẳng có phương trình: \[ 3x - 2y + 0z + 0 = 0 \] Khi đó $a = 3$, $b = -2$, $c = 0$, nên $a + b + c = 3 - 2 + 0 = 1$.