Giải hộ mình câu này với các bạn *Tíí dụ 3. Tìm ghhiệm guyyên của phương,trình $x^2y^2-xy=x^2+2y^2.$

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2y^2 - xy = x^2 + 2y^2$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét trường hợp $x = 0$:
$$0 - 0 = 0 + 2y^2 \Rightarrow 2y^2 = 0 \Rightarrow y = 0.$$
Vậy $(0, 0)$ là một nghiệm nguyên.

Bước 2: Xét trường hợp $y = 0$:
$$x^2 \cdot 0 - 0 = x^2 + 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.$$
Vậy $(0, 0)$ là một nghiệm nguyên (đã được xét ở Bước 1).

Bước 3: Xét trường hợp $x \neq 0$ và $y \neq 0$:
Chia cả hai vế của phương trình cho $xy$:
$$xy - 1 = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}.$$

Nhân cả hai vế với $xy$:
$$x^2y^2 - xy = x^2 + 2y^2.$$

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
$$x^2y^2 - xy - x^2 - 2y^2 = 0.$$

Nhóm các hạng tử lại:
$$x^2(y^2 - 1) - y(2y + x) = 0.$$

Bước 4: Ta thử các giá trị nguyên nhỏ để tìm nghiệm:
- Thử $x = 1$:
$$1^2y^2 - 1 \cdot y = 1^2 + 2y^2 \Rightarrow y^2 - y = 1 + 2y^2 \Rightarrow -y^2 - y - 1 = 0 \Rightarrow y^2 + y + 1 = 0.$$
Phương trình này vô nghiệm vì $y^2 + y + 1 > 0$ với mọi $y$.

- Thử $x = -1$:
$$(-1)^2y^2 - (-1) \cdot y = (-1)^2 + 2y^2 \Rightarrow y^2 + y = 1 + 2y^2 \Rightarrow -y^2 + y - 1 = 0 \Rightarrow y^2 - y + 1 = 0.$$
Phương trình này cũng vô nghiệm vì $y^2 - y + 1 > 0$ với mọi $y$.

- Thử $y = 1$:
$$x^2 \cdot 1^2 - x \cdot 1 = x^2 + 2 \cdot 1^2 \Rightarrow x^2 - x = x^2 + 2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2.$$
Vậy $(-2, 1)$ là một nghiệm nguyên.

- Thử $y = -1$:
$$x^2 \cdot (-1)^2 - x \cdot (-1) = x^2 + 2 \cdot (-1)^2 \Rightarrow x^2 + x = x^2 + 2 \Rightarrow x = 2.$$
Vậy $(2, -1)$ là một nghiệm nguyên.

Kết luận: Các nghiệm nguyên của phương trình $x^2y^2 - xy = x^2 + 2y^2$ là $(0, 0)$, $(-2, 1)$, và $(2, -1)$.