Tìm max P.

Câu V. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{a^2 + bc - b\sqrt{a^2 + c^2} + c\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^4 + a^2(b^2 + c^2) + b^2c^2}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Các biến \(a\), \(b\), và \(c\) đều khác 0. - Biểu thức dưới dấu căn ở mẫu số phải lớn hơn 0: \[ a^4 + a^2(b^2 + c^2) + b^2c^2 > 0 \] Do \(a^4\), \(a^2(b^2 + c^2)\), và \(b^2c^2\) đều là các số dương, nên biểu thức trên luôn lớn hơn 0. Bước 2: Rút gọn biểu thức Ta sẽ xét biểu thức \( P \): \[ P = \frac{a^2 + bc - b\sqrt{a^2 + c^2} + c\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^4 + a^2(b^2 + c^2) + b^2c^2}} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Chúng ta sẽ thử các giá trị đặc biệt của \(a\), \(b\), và \(c\) để tìm giá trị lớn nhất của \(P\). - Chọn \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 2\): \[ P = \frac{1^2 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot \sqrt{1^2 + 2^2} + 2 \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{1^4 + 1^2(1^2 + 2^2) + 1^2 \cdot 2^2}} \] \[ = \frac{1 + 2 - \sqrt{1 + 4} + 2 \cdot \sqrt{1 + 1}}{\sqrt{1 + 1(1 + 4) + 4}} \] \[ = \frac{3 - \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{1 + 5 + 4}} \] \[ = \frac{3 - \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{10}} \] - Chọn \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\): \[ P = \frac{1^2 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{1^2 + 1^2} + 1 \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{1^4 + 1^2(1^2 + 1^2) + 1^2 \cdot 1^2}} \] \[ = \frac{1 + 1 - \sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 + 1}}{\sqrt{1 + 1(1 + 1) + 1}} \] \[ = \frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{\sqrt{1 + 2 + 1}} \] \[ = \frac{2}{\sqrt{4}} \] \[ = \frac{2}{2} \] \[ = 1 \] Từ các giá trị thử nghiệm, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là 1, đạt được khi \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là 1, đạt được khi \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\).