trả lời ngắn

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( P = -2x_1 + x_2 \), chúng ta cần xác định các điểm cực tiểu và cực đại của hàm số \( y = f(x) = \frac{2x^2 + 26x + 18}{x + 13} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \left( \frac{2x^2 + 26x + 18}{x + 13} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 + 26x + 18)'(x + 13) - (2x^2 + 26x + 18)(x + 13)'}{(x + 13)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (2x^2 + 26x + 18)' = 4x + 26 \] \[ (x + 13)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(4x + 26)(x + 13) - (2x^2 + 26x + 18)}{(x + 13)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{4x^2 + 52x + 26x + 338 - 2x^2 - 26x - 18}{(x + 13)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 52x + 320}{(x + 13)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{2x^2 + 52x + 320}{(x + 13)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ 2x^2 + 52x + 320 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 + 26x + 160 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-26 \pm \sqrt{676 - 640}}{2} \] \[ x = \frac{-26 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{-26 \pm 6}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-26 + 6}{2} = -10 \] \[ x_2 = \frac{-26 - 6}{2} = -16 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - \( x_1 = -10 \) là điểm cực tiểu. - \( x_2 = -16 \) là điểm cực đại. Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( P = -2x_1 + x_2 \): \[ P = -2(-10) + (-16) \] \[ P = 20 - 16 \] \[ P = 4 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 4 \). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định của hàm số. 2. Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số. 3. Tính diện tích hình chữ nhật do các tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành. 4. Giải phương trình để tìm giá trị của \( m \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số Hàm số \( y = \frac{2x + m}{mx - 1} \) có điều kiện xác định là \( mx - 1 \neq 0 \). Do đó: \[ mx \neq 1 \] \[ x \neq \frac{1}{m} \] Bước 2: Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số Tiệm cận đứng: \( x = \frac{1}{m} \) Tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + m}{mx - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{m}{x}}{m - \frac{1}{x}} = \frac{2}{m} \] Do đó, tiệm cận ngang là \( y = \frac{2}{m} \). Bước 3: Tính diện tích hình chữ nhật do các tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành Diện tích hình chữ nhật là: \[ S = \left| \frac{1}{m} \right| \times \left| \frac{2}{m} \right| = \frac{2}{m^2} \] Theo đề bài, diện tích này bằng 2: \[ \frac{2}{m^2} = 2 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của \( m \) \[ \frac{2}{m^2} = 2 \] \[ \frac{1}{m^2} = 1 \] \[ m^2 = 1 \] \[ m = \pm 1 \] Vậy có 2 giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện của bài toán: \( m = 1 \) và \( m = -1 \). Đáp số: 2 giá trị của \( m \). Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol dựa trên thông tin về đỉnh và trục đối xứng. 2. Tìm đạo hàm của phương trình vận tốc để xác định gia tốc tức thời. 3. Thay giá trị thời gian \( t = 1,5 \) vào đạo hàm để tính gia tốc tức thời. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol Đường parabol có đỉnh \( X(2;6) \) và trục đối xứng song song với Oy có dạng phương trình: \[ v(t) = a(t - 2)^2 + 6 \] Bước 2: Xác định giá trị của \( a \) Ta biết rằng khi \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \): \[ 0 = a(0 - 2)^2 + 6 \] \[ 0 = 4a + 6 \] \[ 4a = -6 \] \[ a = -\frac{3}{2} \] Vậy phương trình vận tốc là: \[ v(t) = -\frac{3}{2}(t - 2)^2 + 6 \] Bước 3: Tìm đạo hàm của phương trình vận tốc để xác định gia tốc tức thời Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = -\frac{3}{2}(t - 2)^2 + 6 \] \[ v'(t) = -\frac{3}{2} \cdot 2(t - 2) \] \[ v'(t) = -3(t - 2) \] Bước 4: Thay giá trị thời gian \( t = 1,5 \) vào đạo hàm để tính gia tốc tức thời \[ a(1,5) = -3(1,5 - 2) \] \[ a(1,5) = -3(-0,5) \] \[ a(1,5) = 1,5 \] Vậy gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 1,5 \) giờ là \( 1,5 \, km/h^2 \). Đáp số: \( 1,5 \, km/h^2 \)