giải giúp tôi

Câu 12. Để tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục Ox và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ ($a < b$), ta cần áp dụng công thức tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Công thức tính diện tích S là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do chọn công thức này là vì: - Diện tích luôn là một giá trị dương, do đó ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ để đảm bảo rằng diện tích không bị âm. - Giới hạn tích phân từ $a$ đến $b$ xác định khoảng trên trục Ox mà ta đang tính diện tích. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 1. a) Đúng. Trên khoảng $(-1;1),$ đồ thị hàm số $y=f(x)$ có dạng lõm xuống, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng này. b) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai điểm uốn, do đó hàm số có hai điểm cực trị. c) Đúng. Trên đoạn $[-2;2],$ giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ là 2, đạt được tại $x=2.$ d) Sai. Ta thấy $f(0)=1,$ nhưng $0^3-3\times 0+1=1.$ Do đó, $y=f(x)\ne x^3-3x+1.$ Câu 2. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 100. - Khoảng biến thiên được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. - Trong bảng, giá trị lớn nhất là 100 và giá trị nhỏ nhất là 0. - Do đó, khoảng biến thiên là 100 - 0 = 100. b) Số học sinh đạt 60 điểm trở lên là 38 học sinh. - Nhóm [60;80) có 38 học sinh. - Nhóm [80;100) có 8 học sinh. - Tổng số học sinh đạt 60 điểm trở lên là 38 + 8 = 46 học sinh. c) Điểm trung bình của học sinh đạt được từ bảng số liệu trên là 54 điểm. - Ta tính tổng số điểm của tất cả học sinh: \[ 25 \times 10 + 34 \times 30 + 15 \times 50 + 38 \times 70 + 8 \times 90 = 250 + 1020 + 750 + 2660 + 720 = 5400 \] - Số lượng học sinh là 120. - Điểm trung bình là: \[ \frac{5400}{120} = 45 \] d) Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là $\frac{1}{8}$. - Ta xác định nhóm chứa trung vị: - Tính tổng số học sinh: 25 + 34 + 15 + 38 + 8 = 120. - Trung vị nằm ở vị trí $\frac{120}{2} = 60$ và $\frac{120}{2} + 1 = 61$. - Nhóm chứa trung vị là nhóm [40;60) vì 25 + 34 = 59 và 59 < 60 < 61 < 59 + 15 = 74. - Số học sinh trong nhóm [40;60) là 15. - Xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là: \[ \frac{15}{120} = \frac{1}{8} \] Đáp số: a) 100 b) 46 học sinh c) 45 điểm d) $\frac{1}{8}$ Câu 3. a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (2; 1; -3)\). b) Mặt phẳng đi qua điểm \(A(2; -5; -6)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2; 1; -3)\). Phương trình mặt phẳng đó là: \[2(x - 2) + 1(y + 5) - 3(z + 6) = 0\] \[2x - 4 + y + 5 - 3z - 18 = 0\] \[2x + y - 3z - 17 = 0\] c) Để tìm tọa độ của điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên đường thẳng \(d\), ta thực hiện các bước sau: - Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[x = 1 + 2t\] \[y = -2 + t\] \[z = -1 - 3t\] - Vectơ \(\overrightarrow{AH}\) vuông góc với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) của đường thẳng \(d\). Ta có: \[\overrightarrow{AH} = (1 + 2t - 2; -2 + t + 5; -1 - 3t + 6) = (2t - 1; t + 3; -3t + 5)\] - Điều kiện để \(\overrightarrow{AH}\) vuông góc với \(\overrightarrow{u}\): \[(2t - 1) \cdot 2 + (t + 3) \cdot 1 + (-3t + 5) \cdot (-3) = 0\] \[4t - 2 + t + 3 + 9t - 15 = 0\] \[14t - 14 = 0\] \[t = 1\] - Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \[x = 1 + 2 \cdot 1 = 3\] \[y = -2 + 1 = -1\] \[z = -1 - 3 \cdot 1 = -4\] Vậy tọa độ của điểm \(H\) là \(H(3; -1; -4)\). Đáp số: a) \(\overrightarrow{u} = (2; 1; -3)\) b) \(2x + y - 3z - 17 = 0\) c) \(H(3; -1; -4)\) Câu 4. a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). b) Ta có: \[ v(t) = -10t + 20 \] Quãng đường s(t) là nguyên hàm của v(t): \[ s(t) = \int (-10t + 20) \, dt = -5t^2 + 20t + C \] Do ban đầu (t = 0), xe chưa di chuyển nên s(0) = 0. Từ đó ta suy ra: \[ s(0) = -5(0)^2 + 20(0) + C = 0 \] \[ C = 0 \] Vậy: \[ s(t) = -5t^2 + 20t \] c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là thời điểm vận tốc v(t) = 0: \[ -10t + 20 = 0 \] \[ 10t = 20 \] \[ t = 2 \text{ (giây)} \] d) Để kiểm tra xe ô tô có va chạm vào chướng ngại vật hay không, ta tính quãng đường xe đã đi được sau 2 giây: \[ s(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ (m)} \] Vì quãng đường xe đã đi được là 20 m, còn khoảng cách đến chướng ngại vật là 25 m, nên xe không va chạm vào chướng ngại vật. Đáp số: a) s(t) là nguyên hàm của v(t) b) s(t) = -5t^2 + 20t c) Thời gian xe dừng hẳn là 2 giây d) Xe không va chạm vào chướng ngại vật.