giải giúp tôi

Câu 11. Để xác định khoảng nào mà hàm số $y = f(x)$ nghịch biến, ta cần quan sát sự thay đổi của giá trị hàm số khi $x$ tăng lên. Hàm số được coi là nghịch biến nếu khi $x$ tăng thì giá trị của $y$ giảm. Ta sẽ kiểm tra từng khoảng đã cho: - Khoảng $(-1; 1)$: - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, ta thấy giá trị của $y$ giảm dần từ $f(-1)$ xuống $f(1)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng $(-2; 1)$: - Từ $x = -2$ đến $x = -1$, giá trị của $y$ tăng dần từ $f(-2)$ lên $f(-1)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, giá trị của $y$ giảm dần từ $f(-1)$ xuống $f(1)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Vì hàm số đồng biến trên một phần của khoảng này, nên không thể nói rằng hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-2; 1)$. - Khoảng $(-1; +\infty)$: - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, giá trị của $y$ giảm dần từ $f(-1)$ xuống $f(1)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Từ $x = 1$ đến $x = +\infty$, giá trị của $y$ tăng dần từ $f(1)$ lên $f(+\infty)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Vì hàm số đồng biến trên một phần của khoảng này, nên không thể nói rằng hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1; +\infty)$. - Khoảng $(-2; 2)$: - Từ $x = -2$ đến $x = -1$, giá trị của $y$ tăng dần từ $f(-2)$ lên $f(-1)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, giá trị của $y$ giảm dần từ $f(-1)$ xuống $f(1)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Từ $x = 1$ đến $x = 2$, giá trị của $y$ tăng dần từ $f(1)$ lên $f(2)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Vì hàm số đồng biến trên một phần của khoảng này, nên không thể nói rằng hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-2; 2)$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Đáp án đúng: A. $(-1; 1)$. Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( x \) từ phương trình \( 2^{x+1} = 6 \). Bước 2: Tính giá trị của \( 4^x \) dựa trên giá trị của \( x \) đã tìm được. Bước 1: Xác định giá trị của \( x \) Ta có phương trình: \[ 2^{x+1} = 6 \] Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế: \[ \log_2(2^{x+1}) = \log_2(6) \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ x + 1 = \log_2(6) \] Do đó: \[ x = \log_2(6) - 1 \] Bước 2: Tính giá trị của \( 4^x \) Biểu thức \( 4^x \) có thể viết lại dưới dạng: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] Thay giá trị của \( x \) vào: \[ 2x = 2(\log_2(6) - 1) = 2\log_2(6) - 2 \] Do đó: \[ 4^x = 2^{2\log_2(6) - 2} \] Sử dụng tính chất của lũy thừa: \[ 4^x = 2^{2\log_2(6)} \cdot 2^{-2} = (2^{\log_2(6)})^2 \cdot \frac{1}{4} = 6^2 \cdot \frac{1}{4} = 36 \cdot \frac{1}{4} = 9 \] Như vậy, giá trị của \( 4^x \) là 9. Đáp án đúng là: 9. Câu 1. a) Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = -2\sin(2x) + \sqrt{3}. \] b) Phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -2\sin(2x) + \sqrt{3} = 0 \] \[ \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Trên đoạn \([0; \pi]\), phương trình \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) có hai nghiệm: \[ 2x = \frac{\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{2\pi}{3} \] \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3}. \] c) Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Trên khoảng \((0, \frac{\pi}{6})\), ta có \( \sin(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \), do đó \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến. - Trên khoảng \((\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})\), ta có \( \sin(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2} \), do đó \( f'(x) < 0 \), hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((\frac{\pi}{3}, \pi)\), ta có \( \sin(2x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \), do đó \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến. d) Tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([\frac{\pi}{6}; \pi]\): - Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6}. \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}. \] \[ f(\pi) = \cos(2\pi) + \sqrt{3} \cdot \pi = 1 + \sqrt{3}\pi. \] So sánh các giá trị: \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6}, \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}, \] \[ f(\pi) = 1 + \sqrt{3}\pi. \] Trong ba giá trị này, giá trị lớn nhất là \( f(\pi) = 1 + \sqrt{3}\pi \). Vậy giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([\frac{\pi}{6}; \pi]\) là \( 1 + \sqrt{3}\pi \). Câu 2. Đầu tiên, ta cần chuyển đổi vận tốc ban đầu của ô tô từ km/h sang m/s: \[ 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 \text{ m/s} \] a) Khi ô tô bắt đầu đạp phanh, khoảng cách ô tô đến chướng ngại vật là 60m. Giả sử ban đầu, khoảng cách giữa ô tô và chướng ngại vật là 80m. Khi người lái xe phát hiện ra chướng ngại vật, họ mất 1 giây để phản ứng. Trong 1 giây này, ô tô tiếp tục chạy với vận tốc 20 m/s: \[ \text{Khoảng cách ô tô di chuyển trong 1 giây} = 20 \text{ m/s} \times 1 \text{ s} = 20 \text{ m} \] Do đó, khi bắt đầu đạp phanh, khoảng cách còn lại giữa ô tô và chướng ngại vật là: \[ 80 \text{ m} - 20 \text{ m} = 60 \text{ m} \] b) Giá trị của b là 20. Biết rằng xe dừng hẳn sau 3 giây kể từ khi bắt đầu đạp phanh, tức là: \[ v(3) = 0 \] \[ v(t) = at + b \] \[ v(3) = 3a + b = 0 \] Ban đầu, khi bắt đầu đạp phanh, vận tốc của ô tô là 20 m/s: \[ v(0) = b = 20 \] c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0 \leq t \leq 3)$ kể từ khi đạp phanh được tính theo công thức $S(t) = -\frac{10}{3}t^2 + 20t$. Ta biết rằng: \[ v(t) = at + b \] \[ v(3) = 3a + b = 0 \] \[ b = 20 \] \[ 3a + 20 = 0 \] \[ 3a = -20 \] \[ a = -\frac{20}{3} \] Do đó: \[ v(t) = -\frac{20}{3}t + 20 \] Quãng đường S(t) mà ô tô đi được trong thời gian t giây là: \[ S(t) = \int_0^t v(t) \, dt = \int_0^t \left(-\frac{20}{3}t + 20\right) \, dt \] \[ S(t) = \left[-\frac{10}{3}t^2 + 20t\right]_0^t \] \[ S(t) = -\frac{10}{3}t^2 + 20t \] d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 45 m. Trong 1 giây đầu tiên, ô tô di chuyển được: \[ 20 \text{ m} \] Từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn (3 giây): \[ S(3) = -\frac{10}{3}(3)^2 + 20(3) \] \[ S(3) = -\frac{10}{3} \times 9 + 60 \] \[ S(3) = -30 + 60 \] \[ S(3) = 30 \text{ m} \] Tổng quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn: \[ 20 \text{ m} + 30 \text{ m} = 50 \text{ m} \] Nhưng theo đề bài, khoảng cách ban đầu là 80m và khi bắt đầu đạp phanh còn 60m, nên quãng đường thực tế là: \[ 80 \text{ m} - 60 \text{ m} + 30 \text{ m} = 50 \text{ m} \] Vậy, tổng quãng đường xe ô tô đã di chuyển là 50 m, nhưng theo đề bài là 45 m, do đó có thể có sự sai lệch nhỏ trong đề bài hoặc giả thiết. Câu 3. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) [1] Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{u} = (1; 2; 1)$ làm vectơ chỉ phương. Ta cần kiểm tra xem vectơ $\overrightarrow{AB}$ có cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ hay không. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0; 1 - 0; 0 + 1) = (-1; 1; 1) \] Bây giờ, ta kiểm tra xem $\overrightarrow{AB}$ có cùng phương với $\overrightarrow{u}$ hay không. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} = (-1; 1; 1) \quad \text{và} \quad \overrightarrow{u} = (1; 2; 1) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{u}$ vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{u}$. Do đó, khẳng định này là sai. Phần b) [2] Đường thẳng AC có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x = t \\ y = 0 \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = -1 + 2t\end{array}\right.$ Ta cần kiểm tra phương trình đường thẳng AC. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0; 0 - 0; 1 + 1) = (1; 0; 2) \] Phương trình tham số của đường thẳng AC qua điểm $A(0; 0; -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC} = (1; 0; 2)$ là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 0 + t \\ y = 0 + 0 \cdot t \\ z = -1 + 2t \end{array}\right. \] Điều này đúng với phương trình đã cho: \[ \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 0 \\ z = -1 + 2t \end{array}\right. \] Do đó, khẳng định này là đúng. Phần c) [3] Mặt phẳng (P) có phương trình $2x + 3y + z - 2005 = 0$ song song với mặt phẳng (ABC). Ta cần kiểm tra xem mặt phẳng (P) có cùng phương với mặt phẳng (ABC) hay không. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_P} = (2; 3; 1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính từ vectơ pháp tuyến của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (-1; 1; 1) \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AC} = (1; 0; 2) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \[ \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2; 3; 1) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_P} = (2; 3; 1)$ và $\overrightarrow{n_{ABC}} = (2; 3; 1)$, tức là chúng cùng phương. Do đó, mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC). Do đó, khẳng định này là đúng. Kết luận: - Phần a) [1]: Sai. - Phần b) [2]: Đúng. - Phần c) [3]: Đúng. Câu 1. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 9$. Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình tổng quát, ta nhận thấy: - $(x - 1)^2$ tương ứng với $(x - a)^2$, suy ra $a = 1$. - $(y - 2)^2$ tương ứng với $(y - b)^2$, suy ra $b = 2$. - $(z + 3)^2$ tương ứng với $(z - c)^2$, suy ra $c = -3$. Vậy tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là $(1, 2, -3)$. Đáp số: $(1, 2, -3)$.