giải chi tiết

Câu 2. Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P). 3. Kiểm tra các khẳng định dựa trên phương trình mặt phẳng đã tìm được. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Ta tính hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, -2 - 1, 1 - 2) = (2, -3, -1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 0, 1 - 1, 0 - 2) = (-2, 0, -2) \] Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) là tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-2) - (-1)(0)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (-1)(-2)) + \mathbf{k}((2)(0) - (-3)(-2)) \] \[ = \mathbf{i}(6 - 0) - \mathbf{j}(-4 - 2) + \mathbf{k}(0 - 6) = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 6\mathbf{k} = (6, 6, -6) \] Chia cả ba thành phần của vectơ pháp tuyến cho 6 để đơn giản hóa: \[ \overrightarrow{n} = (1, 1, -1) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0, 1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, 1, -1)$ là: \[ 1(x - 0) + 1(y - 1) - 1(z - 2) = 0 \] \[ x + y - z + 1 = 0 \] Bước 3: Kiểm tra các khẳng định a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}(1;1;1)$. - Sai, vì vectơ pháp tuyến đúng là $\overrightarrow{n}(1;1;-1)$. b) Phương trình mặt phẳng (P) là $x + y - z + 1 = 0$. - Đúng, vì phương trình này đã được xác nhận ở bước 2. c) Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm $M(-1;0;0)$. - Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng: \[ -1 + 0 - 0 + 1 = 0 \] Điều này đúng, nên khẳng định này là đúng. d) Điểm $N(1; -2; 0)$ thuộc mặt phẳng (P). - Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng: \[ 1 - 2 - 0 + 1 = 0 \] Điều này đúng, nên khẳng định này là đúng. Kết luận a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu và xác định xem chúng đúng hay sai. 1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số: - Tiệm cận đứng: Hàm số $\frac{2x+1}{x+4}$ có tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0, tức là $x + 4 = 0$. Do đó, $x = -4$. Vậy $x_0 = -4$. - Tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 2. \] Vậy $y_0 = 2$. 2. Kiểm tra từng phát biểu: a) Giá trị của biểu thức $S = x^2_0 + y^2_0$ lớn hơn 18: \[ S = (-4)^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20. \] Vì $20 > 18$, nên phát biểu này đúng. b) Gọi điểm $M(x_0; y_0)$ thì trung điểm của đoạn OM có tọa độ là $(2; 1)$: - Tọa độ của điểm $M$ là $(-4, 2)$. - Trung điểm của đoạn OM là: \[ \left( \frac{-4 + 0}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = (-2, 1). \] Vì $(-2, 1) \neq (2, 1)$, nên phát biểu này sai. c) Điểm $(-1, -4)$ không nằm trên đường tiệm cận đứng $x = x_0$: - Đường tiệm cận đứng là $x = -4$. - Điểm $(-1, -4)$ có hoành độ là $-1$, không bằng $-4$. Vì vậy, phát biểu này đúng. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(2, -4)$: - Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $\frac{2x+1}{x+4}$ là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, tức là $(-4, 2)$. Vì $(-4, 2) \neq (2, -4)$, nên phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) sai. Vậy các phát biểu đúng là a) và c). Câu 4. Để giải quyết các câu hỏi về xác suất của các biến cố, ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản của xác suất và tính chất của các biến cố. a) \( P(\overline{A}B) \) Theo công thức xác suất của biến cố giao: \[ P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ P(\overline{A}B) = 0,7 - 0,4 = 0,3 \] b) \( P(A|\overline{B}) \) Công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} \] Trước tiên, ta cần tính \( P(A \cap \overline{B}) \): \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(AB) \] \[ P(A \cap \overline{B}) = 0,6 - 0,4 = 0,2 \] Tiếp theo, ta tính \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) \] \[ P(\overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Bây giờ, ta có thể tính \( P(A|\overline{B}) \): \[ P(A|\overline{B}) = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3} \] c) \( P(\overline{A}) \) và \( P(\overline{B}) \) Ta đã tính \( P(\overline{B}) \) ở trên: \[ P(\overline{B}) = 0,3 \] Tương tự, ta tính \( P(\overline{A}) \): \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \] \[ P(\overline{A}) = 1 - 0,6 = 0,4 \] d) \( P(B|A) \) Công thức xác suất điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ P(B|A) = \frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3} \] Kết luận: a) \( P(\overline{A}B) = 0,3 \) b) \( P(A|\overline{B}) = \frac{2}{3} \) c) \( P(\overline{A}) = 0,4 \) và \( P(\overline{B}) = 0,3 \) d) \( P(B|A) = \frac{2}{3} \)