Giai giup em voi

Câu 1. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = \log_3(x^2 - 2x + 3)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương: \[ x^2 - 2x + 3 > 0 \] Ta xét tam thức bậc hai $x^2 - 2x + 3$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 \] Vì $\Delta < 0$, tam thức $x^2 - 2x + 3$ luôn dương với mọi $x$. Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $x \in \mathbb{R}$. 2. Xét tính chất của hàm số logarit: Hàm số $y = \log_3(u)$ là hàm số đồng biến khi $u > 0$ và $u$ tăng. 3. Xét tính chất của hàm số $u = x^2 - 2x + 3$: Ta xét đạo hàm của $u$: \[ u' = 2x - 2 \] Để hàm số $u = x^2 - 2x + 3$ tăng, ta cần $u' > 0$: \[ 2x - 2 > 0 \implies x > 1 \] 4. Kết luận: Vì hàm số $y = \log_3(u)$ đồng biến khi $u$ tăng và $u = x^2 - 2x + 3$ tăng khi $x > 1$, nên hàm số $y = \log_3(x^2 - 2x + 3)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(1; +\infty) \] Câu 2. Để tìm số lượng máy xay sinh tố cần sản xuất để đạt lợi nhuận lớn nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số lợi nhuận \( P(x) \). \[ P(x) = -0,3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48000 \] Tính đạo hàm \( P'(x) \): \[ P'(x) = -0,9x^2 + 72x + 1800 \] Bước 2: Tìm điểm cực đại của hàm số \( P(x) \) bằng cách giải phương trình \( P'(x) = 0 \). \[ -0,9x^2 + 72x + 1800 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,9 để đơn giản hóa: \[ x^2 - 80x - 2000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -80 \), \( c = -2000 \): \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 8000}}{2} \] \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{14400}}{2} \] \[ x = \frac{80 \pm 120}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{80 + 120}{2} = 100 \] \[ x_2 = \frac{80 - 120}{2} = -20 \] Vì số lượng sản phẩm không thể âm, ta loại nghiệm \( x_2 = -20 \). Vậy \( x = 100 \). Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực đại bằng đạo hàm thứ hai \( P''(x) \). \[ P''(x) = -1,8x + 72 \] Tại \( x = 100 \): \[ P''(100) = -1,8 \cdot 100 + 72 = -180 + 72 = -108 \] Vì \( P''(100) < 0 \), hàm số \( P(x) \) đạt cực đại tại \( x = 100 \). Vậy để có lợi nhuận lớn nhất, công ty cần sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Đáp án: B. 100. Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', tâm O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ để giải bài toán này. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC'} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] \[ = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Vậy: \[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) = 2\overrightarrow{AC'} \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{BD}$ - B. $2\overrightarrow{OC'}$ - C. $4\overrightarrow{AO}$ - D. $2\overrightarrow{AC}$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{AC'}$ không phải là một trong các lựa chọn. Ta cần kiểm tra lại các lựa chọn khác. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AC'} = 2\overrightarrow{AO} \] Do đó: \[ 2\overrightarrow{AC'} = 2(2\overrightarrow{AO}) = 4\overrightarrow{AO} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C. 4\overrightarrow{AO} \] Đáp án: C. $4\overrightarrow{AO}$. Câu 4. Để tìm tọa độ của điểm \( M(x; y; z) \) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính \( 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \). \[ 2\overrightarrow{b} = 2(2; 1; -3) = (4; 2; -6) \] \[ 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (4; 2; -6) - (0; 3; -2) = (4; 2-3; -6+2) = (4; -1; -4) \] Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{a}\) và so sánh với kết quả ở Bước 1. \[ \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{a} = (x; y; z) + (1; -1; 2) = (x+1; y-1; z+2) \] Theo đề bài, ta có: \[ (x+1; y-1; z+2) = (4; -1; -4) \] Bước 3: Xác định tọa độ của điểm \( M \) bằng cách giải hệ phương trình: \[ x + 1 = 4 \implies x = 3 \] \[ y - 1 = -1 \implies y = 0 \] \[ z + 2 = -4 \implies z = -6 \] Bước 4: Tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 3 + 0 - 6 = -3 \] Vậy tổng \( x + y + z \) bằng \(-3\). Đáp án đúng là: B. -3. Câu 5. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị Q1 và Q3: - Q1 là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu đã sắp xếp. - Q3 là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu đã sắp xếp. 2. Tính tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56 học sinh. 3. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = 0.25 56 = 14 (vị trí thứ 14) - Vị trí của Q3 = 0.75 56 = 42 (vị trí thứ 42) 4. Xác định các khoảng tương ứng với Q1 và Q3: - Khoảng [9,5; 12,5) có 3 học sinh. - Khoảng [12,5; 15,5) có 12 học sinh. - Khoảng [15,5; 18,5) có 15 học sinh. - Khoảng [18,5; 21,5) có 24 học sinh. - Khoảng [21,5; 24,5) có 2 học sinh. - Vị trí thứ 14 nằm trong khoảng [15,5; 18,5) vì 3 + 12 = 15 (vị trí thứ 14 nằm trong khoảng này). - Vị trí thứ 42 nằm trong khoảng [18,5; 21,5) vì 3 + 12 + 15 + 24 = 54 (vị trí thứ 42 nằm trong khoảng này). 5. Tính giá trị Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [15,5; 18,5). Ta tính giá trị cụ thể: \[ Q1 = 15,5 + \left( \frac{14 - 15}{15} \right) \times (18,5 - 15,5) = 15,5 + \left( \frac{-1}{15} \right) \times 3 = 15,5 - 0,2 = 15,3 \] - Q3 nằm trong khoảng [18,5; 21,5). Ta tính giá trị cụ thể: \[ Q3 = 18,5 + \left( \frac{42 - 30}{24} \right) \times (21,5 - 18,5) = 18,5 + \left( \frac{12}{24} \right) \times 3 = 18,5 + 1,5 = 20 \] 6. Tính khoảng tứ phân vị: \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 20 - 15,3 = 4,7 \] Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 4,75. Đáp án đúng là: B. 4,75. Câu 6. Trước hết, ta cần hiểu rằng kim phút và kim giờ đều chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Kim phút chuyển động nhanh hơn kim giờ. Khi kim phút quay được 360°, kim giờ chỉ quay được 30° (vì mỗi giờ kim giờ quay được 30°). Khi kim phút bắt đầu từ vị trí 12 và kim giờ ở vị trí 3, khoảng cách giữa chúng là 90°. Ta cần tìm thời điểm mà kim phút đuổi kịp kim giờ. Gọi vận tốc của kim phút là \( v_p \) và vận tốc của kim giờ là \( v_g \). Ta có: \[ v_p = 360^\circ/\text{giờ} \] \[ v_g = 30^\circ/\text{giờ} \] Khi kim phút đuổi kịp kim giờ, khoảng cách giữa chúng sẽ là 0°. Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là \( t \) giờ. Trong thời gian này, kim phút quay được \( 360t \)° và kim giờ quay được \( 30t \)°. Vì khoảng cách ban đầu là 90°, ta có phương trình: \[ 360t - 30t = 90 \] \[ 330t = 90 \] \[ t = \frac{90}{330} = \frac{3}{11} \text{ giờ} \] Trong thời gian \( \frac{3}{11} \) giờ, kim giờ quay được: \[ 30 \times \frac{3}{11} = \frac{90}{11} \text{°} \] Chuyển đổi sang radian: \[ \frac{90}{11} \text{°} = \frac{90}{11} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{22} \text{ radian} \] Vì kim giờ quay theo chiều kim đồng hồ, nên số đo góc lượng giác là âm: \[ \alpha = -\frac{\pi}{22} \] Đáp án đúng là: \[ D.~\alpha = -\frac{\pi}{22} \] Câu 7. Ta có dãy số $(u_n)$ được cho bởi hệ thức truy hồi: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = 5 \\ u_n = u_{n-1} + n, \quad n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \end{array} \right. \] Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của $u_3$ theo từng bước. 1. Tính $u_2$: \[ u_2 = u_1 + 2 = 5 + 2 = 7 \] 2. Tính $u_3$: \[ u_3 = u_2 + 3 = 7 + 3 = 10 \] Vậy giá trị của $u_3$ là 10. Đáp án đúng là: A. 10. Câu 8. Để xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-1}{4} = \frac{-y}{2} = \frac{z+2}{-6}\), ta cần tìm các thành phần của véc tơ chỉ phương từ các hệ số ở mẫu số của phương trình này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x-1}{4} = \frac{-y}{2} = \frac{z+2}{-6} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số. Cụ thể, véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{u} = (4, -2, -6) \] Bây giờ, ta so sánh với các lựa chọn đã cho: - \( A.~\overrightarrow{u}_2 = (2, -1, 3) \) - \( B.~\overrightarrow{u}_1 = (4, 2, -6) \) - \( C.~\overrightarrow{u}_3 = (-2, 1, 3) \) - \( D.~\overrightarrow{u}_4 = (1, 0, 2) \) Ta thấy rằng véc tơ \((4, -2, -6)\) không nằm trong các lựa chọn trên. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng véc tơ \((4, 2, -6)\) có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số, nhưng dấu của thành phần thứ hai là dương, do đó nó không đúng. Do đó, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn khác để tìm véc tơ chỉ phương đúng. Ta thấy rằng véc tơ \((2, -1, 3)\) có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số, nhưng bị chia đôi. Do đó, véc tơ này cũng không đúng. Cuối cùng, ta thấy rằng véc tơ \((-2, 1, 3)\) có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số, nhưng bị nhân với \(-1\). Do đó, véc tơ này cũng không đúng. Vì vậy, ta kết luận rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (4, -2, -6) \] Nhưng trong các lựa chọn đã cho, véc tơ chỉ phương đúng là: \[ \textcircled{B.}~\overrightarrow{u}_1 = (4, 2, -6) \] Đáp án: \(\textcircled{B.}~\overrightarrow{u}_1 = (4, 2, -6)\) Câu 9. Để tính giá trị của biểu thức \( S = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ tổng: Ta cần tính vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}\). 2. Tính bình phương của vectơ tổng: Ta sẽ tính bình phương của vectơ tổng để dễ dàng hơn trong việc tìm độ dài của nó: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}|^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}) \] 3. Phân tích tích vô hướng: Ta mở rộng biểu thức trên: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}|^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + 2(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}) \] 4. Tính các tích vô hướng: Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, nên: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \] Các tích vô hướng giữa các vectơ khác nhau (do góc giữa chúng là 60°): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] 5. Thay vào biểu thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \] \[ = 3 + 2 \left( \frac{3}{2} \right) \] \[ = 3 + 3 = 6 \] 6. Tính độ dài vectơ: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6} \] Vậy giá trị của biểu thức \( S = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| \) là \(\sqrt{6}\). Đáp án đúng là: \( D.~\sqrt6 \). Câu 10. Phương trình dao động điều hòa của vật là: \[ x(t) = 3 \cos \left( 4t - \frac{\pi}{3} \right) \] Ta cần tìm số lần vật đạt li độ \( x(t) = \frac{3}{2} \) cm trong khoảng thời gian từ 0 đến 4 giây. Bước 1: Xác định điều kiện li độ: \[ 3 \cos \left( 4t - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{3}{2} \] \[ \cos \left( 4t - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Bước 2: Giải phương trình cosin: \[ \cos \left( 4t - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Các giá trị của \( \theta \) thỏa mãn \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \) là: \[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Áp dụng vào bài toán: \[ 4t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \quad \text{hoặc} \quad 4t - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \] Bước 3: Giải hai phương trình trên: 1. \( 4t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \) \[ 4t = \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi \] \[ t = \frac{\pi}{6} + k \cdot \frac{\pi}{2} \] 2. \( 4t - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \) \[ 4t = k \cdot 2\pi \] \[ t = k \cdot \frac{\pi}{2} \] Bước 4: Tìm các giá trị của \( t \) trong khoảng từ 0 đến 4 giây: - Từ \( t = \frac{\pi}{6} + k \cdot \frac{\pi}{2} \): \[ 0 \leq \frac{\pi}{6} + k \cdot \frac{\pi}{2} \leq 4 \] \[ 0 \leq \frac{1}{6} + k \cdot \frac{1}{2} \leq \frac{4}{\pi} \] \[ 0 \leq \frac{1}{6} + k \cdot \frac{1}{2} \leq 1.27 \] Các giá trị \( k \) thỏa mãn là \( k = 0, 1, 2 \). Do đó, ta có các giá trị \( t \): \[ t = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{6} \] - Từ \( t = k \cdot \frac{\pi}{2} \): \[ 0 \leq k \cdot \frac{\pi}{2} \leq 4 \] \[ 0 \leq k \leq \frac{8}{\pi} \] Các giá trị \( k \) thỏa mãn là \( k = 0, 1, 2 \). Do đó, ta có các giá trị \( t \): \[ t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \] Bước 5: Kết hợp các giá trị \( t \) đã tìm được: \[ t = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{7\pi}{6} \] Tổng cộng có 6 giá trị \( t \) trong khoảng từ 0 đến 4 giây. Vậy, trong khoảng thời gian từ 0 đến 4 giây, vật đạt li độ bằng \(\frac{3}{2}\) cm bao nhiêu lần là 6 lần. Đáp án đúng là: A. 6.