Giúp tớ đi ạ

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị của hàm số $f'(x)$ từ đồ thị. 2. Tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$ của $f'(x)$. 3. Tính $f(x)$ từ $f'(x)$ và điều kiện $f(0) = 1$. 4. Tính diện tích $S$ giữa hai đồ thị $y = f(x)$ và $y = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x + 1$. Bước 1: Xác định các điểm cực trị của $f'(x)$ Từ đồ thị, ta thấy: - Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$. - Đồ thị có cực đại tại $x = 0$ và cực tiểu tại $x = 1$. Do đó, $f'(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có các nghiệm là $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$. Ta có thể viết lại $f'(x)$ dưới dạng: \[ f'(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2) \] Bước 2: Tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$ Ta mở rộng biểu thức: \[ f'(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2) = a(x^3 - 2x^2 - x + 2) \] \[ f'(x) = ax^3 - 2ax^2 - ax + 2a \] So sánh với $f'(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta có: \[ b = -2a, \quad c = -a, \quad d = 2a \] Bước 3: Tính $f(x)$ từ $f'(x)$ và điều kiện $f(0) = 1$ Tích phân $f'(x)$ để tìm $f(x)$: \[ f(x) = \int (ax^3 - 2ax^2 - ax + 2a) \, dx \] \[ f(x) = \frac{a}{4}x^4 - \frac{2a}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + 2ax + C \] Áp dụng điều kiện $f(0) = 1$: \[ f(0) = 2a \cdot 0 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Do đó: \[ f(x) = \frac{a}{4}x^4 - \frac{2a}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + 2ax + 1 \] Bước 4: Tính diện tích $S$ giữa hai đồ thị Diện tích $S$ giữa hai đồ thị $y = f(x)$ và $y = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x + 1$ từ $x = -1$ đến $x = 2$: \[ S = \int_{-1}^{2} \left[ f(x) - \left(-\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x + 1\right) \right] \, dx \] Thay $f(x)$ vào: \[ S = \int_{-1}^{2} \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{2a}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + 2ax + 1 - \left(-\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x + 1\right) \right] \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{2} \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{2a}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + 2ax + 1 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - 1 \right] \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{2} \left[ \frac{a}{4}x^4 + \left(\frac{2}{3} - \frac{2a}{3}\right)x^3 + \left(-\frac{a}{2} - \frac{3}{2}\right)x^2 + (2a - 6)x \right] \, dx \] Biết rằng diện tích $S = \frac{16}{3}$, ta có thể tính $a$ và sau đó tính diện tích giữa hai đồ thị. Kết luận Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x + 1$ là 6,7 (làm tròn đến hàng phần chục).