Tìm tất cả các số nguyên tố p; q; r thỏa mãn (p² + 1)(q² + 1) = r² + 1

Ta thấy p = q = r = 2 là một bộ số thỏa mãn. Ta xét các trường hợp còn lại: - Nếu p = 2 thì ta có 5(q² + 1) = r² + 1. Suy ra 5q² + 4 = r². Suy ra r² chia hết cho 5. Vậy r chia hết cho 5. Vì r là số nguyên tố nên r = 5. Thay vào ta có 5q² + 4 = 25. Suy ra q² = 5 (loại) - Nếu q = 2 thì ta có 5(p² + 1) = r² + 1. Suy ra 5p² + 4 = r². Suy ra r² chia hết cho 5. Vậy r chia hết cho 5. Vì r là số nguyên tố nên r = 5. Thay vào ta có 5p² + 4 = 25. Suy ra p² = 5 (loại) - Nếu p và q đều lẻ thì p² + 1 và q² + 1 đều chẵn. Suy ra r² + 1 chẵn. Vậy r² lẻ. Suy ra r lẻ. Ta có p² + 1 ≥ 5; q² + 1 ≥ 5. Suy ra r² + 1 ≥ 25. Suy ra r² ≥ 24. Suy ra r ≥ 5. Xét r ≥ 5 thì r² + 1 ≥ 26. Suy ra p² + 1 ≥ 13. Suy ra p² ≥ 12. Suy ra p ≥ 4 (loại vì p là số nguyên tố lẻ) Vậy bộ số duy nhất thỏa mãn là p = q = r = 2.