Giải bài tập giúp tôi

Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số Hàm số đã cho là \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \). Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 + 6x - 9 \] Để tìm khoảng đồng biến, ta cần giải bất phương trình \( y' > 0 \): \[ 3x^2 + 6x - 9 > 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 2x - 3 > 0 \] Phương trình \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) có các nghiệm: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Do đó, \( x^2 + 2x - 3 > 0 \) khi \( x < -3 \) hoặc \( x > 1 \). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (1, +\infty) \). b) Tìm độ dài đoạn thẳng AB Điểm cực trị của hàm số là các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ y' = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Khi \( x = 1 \): \[ y = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 \] Điểm cực đại là \( A(1, -4) \). - Khi \( x = -3 \): \[ y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 \] Điểm cực tiểu là \( B(-3, 28) \). Tính độ dài đoạn thẳng \( AB \): \[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-4 - 28)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-4 - 28)^2} = \sqrt{4^2 + (-32)^2} = \sqrt{16 + 1024} = \sqrt{1040} = 4\sqrt{65} \] c) Xét giao điểm của đồ thị với trục hoành Đồ thị cắt trục hoành khi \( y = 0 \): \[ x^3 + 3x^2 - 9x + 1 = 0 \] Ta kiểm tra các nghiệm của phương trình này. Ta thấy rằng phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt, do đó đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-3, 4) \) Trên khoảng \( (-3, 4) \), ta xét giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng: - Tại \( x = -3 \): \[ y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y = 4^3 + 3(4)^2 - 9(4) + 1 = 64 + 48 - 36 + 1 = 77 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-3, 4) \) là 77, đạt được khi \( x = 4 \). Đáp án a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (1, +\infty) \). b) Độ dài đoạn thẳng \( AB = 4\sqrt{65} \). c) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-3, 4) \) là 77, đạt được khi \( x = 4 \). Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \( t \) xác định bởi \( v(t) = t^2 - 7t + 10 \) Ta biết rằng gia tốc \( a(t) = 2t - 7 \). Vận tốc tức thời \( v(t) \) có thể được tìm bằng cách tích phân gia tốc theo thời gian: \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t - 7) \, dt \] Tích phân: \[ v(t) = t^2 - 7t + C \] Biết rằng vận tốc ban đầu \( v(0) = 6 \): \[ 6 = 0^2 - 7 \cdot 0 + C \] \[ C = 6 \] Do đó: \[ v(t) = t^2 - 7t + 6 \] b) Tại thời điểm \( t = 7 \) (s), vận tốc của chất điểm là 6 (m/s) Thay \( t = 7 \) vào biểu thức \( v(t) \): \[ v(7) = 7^2 - 7 \cdot 7 + 6 \] \[ v(7) = 49 - 49 + 6 \] \[ v(7) = 6 \] c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \( 1 \leq t \leq 7 \) là 18 m Độ dịch chuyển \( s(t) \) có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc theo thời gian: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (t^2 - 7t + 6) \, dt \] Tích phân: \[ s(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{7t^2}{2} + 6t + D \] Để tính độ dịch chuyển từ \( t = 1 \) đến \( t = 7 \): \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{7^3}{3} - \frac{7 \cdot 7^2}{2} + 6 \cdot 7 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 \right) \] \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ s(7) - s(1) = 18 \] d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là \( t = 7 \) (s) Để tìm thời điểm xa nhất về phía bên phải, ta cần tìm thời điểm mà vận tốc \( v(t) \) bằng 0: \[ v(t) = t^2 - 7t + 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \] \[ (t - 1)(t - 6) = 0 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = 6 \] Trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 8 \), ta thấy rằng \( t = 7 \) là thời điểm xa nhất về phía bên phải vì vận tốc \( v(t) \) chuyển từ âm sang dương tại \( t = 7 \). Đáp án: a) \( v(t) = t^2 - 7t + 6 \) b) \( v(7) = 6 \) m/s c) Độ dịch chuyển trong khoảng thời gian \( 1 \leq t \leq 7 \) là 18 m d) Thời điểm xa nhất về phía bên phải là \( t = 7 \) (s) Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Vectơ có tọa độ $(2;1;0)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x-2}{5} = \frac{y-1}{12} = \frac{z-6}{13} \] Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(5;12;13)$. Ta kiểm tra xem vectơ $(2;1;0)$ có phải là một bội của vectơ $(5;12;13)$ hay không. Ta thấy rằng: \[ (2;1;0) \neq k(5;12;13) \] với mọi số thực $k$. Do đó, vectơ $(2;1;0)$ không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta$. b) Vectơ có tọa độ $(1;-2;-2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ x - 2y - 2z - 2025 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $(1;-2;-2)$. Ta thấy rằng vectơ $(1;-2;-2)$ đúng là vectơ pháp tuyến của $(P)$. c) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{T} = (5;12;13)$ và $\overrightarrow{n} = (1;-2;-2)$ Công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{T} \cdot \overrightarrow{n} = 5 \cdot 1 + 12 \cdot (-2) + 13 \cdot (-2) = 5 - 24 - 26 = -45 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{T}| = \sqrt{5^2 + 12^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 144 + 169} = \sqrt{338} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-45}{\sqrt{338} \cdot 3} = \frac{-45}{3\sqrt{338}} = \frac{-15}{\sqrt{338}} \] d) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ \sin \phi = \frac{|\overrightarrow{T} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{T}| |\overrightarrow{n}|} \] Ta đã tính: \[ |\overrightarrow{T} \cdot \overrightarrow{n}| = 45 \] \[ |\overrightarrow{T}| = \sqrt{338} \] \[ |\overrightarrow{n}| = 3 \] Do đó: \[ \sin \phi = \frac{45}{\sqrt{338} \cdot 3} = \frac{15}{\sqrt{338}} \] Kết luận a) Vectơ $(2;1;0)$ không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta$. b) Vectơ $(1;-2;-2)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. c) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{T} = (5;12;13)$ và $\overrightarrow{n} = (1;-2;-2)$ là $\cos \theta = \frac{-15}{\sqrt{338}}$. d) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là $\sin \phi = \frac{15}{\sqrt{338}}$.