Tìm min P.

Câu 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} + \frac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2} + \frac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: \[ b + c - a = 1 - 2a \] \[ c + a - b = 1 - 2b \] \[ a + b - c = 1 - 2c \] Do đó, biểu thức \( P \) có thể viết lại thành: \[ P = \frac{(1-2a)^2}{a^2 + (1-a)^2} + \frac{(1-2b)^2}{b^2 + (1-b)^2} + \frac{(1-2c)^2}{c^2 + (1-c)^2} \] Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng mỗi phân thức trong biểu thức trên đều lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{5}\). Xét phân thức đầu tiên: \[ \frac{(1-2a)^2}{a^2 + (1-a)^2} \] Ta biến đổi mẫu số: \[ a^2 + (1-a)^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1 \] Do đó: \[ \frac{(1-2a)^2}{2a^2 - 2a + 1} \] Ta cần chứng minh: \[ \frac{(1-2a)^2}{2a^2 - 2a + 1} \geq \frac{1}{5} \] Nhân cả hai vế với \( 2a^2 - 2a + 1 \): \[ (1-2a)^2 \geq \frac{1}{5}(2a^2 - 2a + 1) \] Biến đổi: \[ 1 - 4a + 4a^2 \geq \frac{2a^2 - 2a + 1}{5} \] Nhân cả hai vế với 5: \[ 5 - 20a + 20a^2 \geq 2a^2 - 2a + 1 \] Rearrange terms: \[ 18a^2 - 18a + 4 \geq 0 \] Phân tích: \[ 18(a^2 - a + \frac{2}{9}) \geq 0 \] Ta thấy rằng \( a^2 - a + \frac{2}{9} \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì nó là một tam thức bậc hai có дискриминант меньше нуля (т.е., оно всегда положительно). Таким образом, каждая из дробей в выражении \( P \) больше или равна \(\frac{1}{5}\). Следовательно, минимальное значение \( P \) будет достигнуто, когда каждая из этих дробей равна \(\frac{1}{5}\), что происходит при \( a = b = c = \frac{1}{3} \). Таким образом, минимальное значение \( P \) равно: \[ P_{\text{min}} = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] Ответ: Минимальное значение \( P \) равно \(\frac{3}{5}\), достигается при \( a = b = c = \frac{1}{3} \).