Tính độ dài ngắn nhất. Câu 2.,Anh Thái và bác Nguyên có hai mảnh vườn có diện tích $S_1,S_2$,trong mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ bên. Đơn vị của mỗi,trục toạ độ là 5 m và nằm cạnh bên một con suối nhỏ được tạo,,bởi hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x)+2,$ biết rằng $f(x)=ax^4+\dot bx^2+4$,có $S_1-S_2=\frac{64(\sqrt2-1)}{15}.$ Từ năm 2025 hai nhà kết thông gia nên anh,Thái muốn xây một cây cầu bắc từ nhà mình sang nhà bác Nguyên,cho tiện đi lại. Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu trên theo đơn vị,mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Question

Tính độ dài ngắn nhất. Câu 2.,Anh Thái và bác Nguyên có hai mảnh vườn có diện tích $S_1,S_2$,trong mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ bên. Đơn vị của mỗi,trục toạ độ là 5 m và nằm cạnh bên một con suối nhỏ được tạo,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/45fa76ae9f4844c69a1d3a656ff23298.jpg />,bởi hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x)+2,$ biết rằng $f(x)=ax^4+\dot bx^2+4$,có $S_1-S_2=\frac{64(\sqrt2-1)}{15}.$ Từ năm 2025 hai nhà kết thông gia nên anh,Thái muốn xây một cây cầu bắc từ nhà mình sang nhà bác Nguyên,cho tiện đi lại. Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu trên theo đơn vị,mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Timi · Accepted Answer

Câu 2:
Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu bắc qua con suối giữa hai mảnh vườn $S_1$ và $S_2$.

Bước 1: Xác định hàm số và điều kiện

Hàm số cho trước là $f(x) = ax^4 + bx^2 + 4$. Hai đường cong tạo thành con suối là $y = f(x)$ và $y = f(x) + 2$.

Bước 2: Tính diện tích $S_1$ và $S_2$

Diện tích giữa hai đường cong từ $x = 0$ đến $x = 2$ là:

$$
S_1 = \int_0^2 [f(x) + 2 - f(x)] \, dx = \int_0^2 2 \, dx = 4
$$

Diện tích $S_2$ là diện tích dưới đường cong $y = f(x)$ từ $x = 0$ đến $x = 2$:

$$
S_2 = \int_0^2 f(x) \, dx
$$

Theo đề bài, $S_1 - S_2 = \frac{64(\sqrt{2} - 1)}{15}$.

Bước 3: Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu

Độ dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng cách thẳng đứng giữa hai đường cong tại một giá trị $x$ nào đó. Do đó, ta cần tìm giá trị $x$ sao cho khoảng cách này là nhỏ nhất.

Khoảng cách giữa hai đường cong là:

$$
d(x) = [f(x) + 2] - f(x) = 2
$$

Vì khoảng cách này không phụ thuộc vào $x$, nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 2 đơn vị trên trục $y$.

Bước 4: Đổi đơn vị

Mỗi đơn vị trên trục tọa độ là 5 m, do đó độ dài ngắn nhất của cây cầu là:

$$
2 \times 5 = 10 \text{ m}
$$

Vậy, độ dài ngắn nhất của cây cầu là 10 m.