Tính giá trị biểu thức. Câu 3.,Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng,là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D như hình,vẽ bên. Cho biết phương trình bề mặt của lều là,$(S):~(x-5)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=36,$ phương trình mặt,phẳng chứa cửa lều là $(P):~x=2$ và phương trình mặt,phẳng chứa sàn lều là (Q) $(Q):~z=0.$ Gọi $r_1$ là bán kính,của đường tròn cửa lều và $r_2$ là bán kính của đường,tròn sàn lều. Tính giá trị biểu thức $r^2_1+r^2_2$ (kết quả,được ghi dưới dạng số nguyên).

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, ta cần xác định bán kính của hai đường tròn: đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

Phương trình mặt cầu được cho là:
$$
(x-5)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 36
$$
Từ đây, ta thấy rằng tâm của mặt cầu là $ C(5, 3, 2) $ và bán kính của mặt cầu là $ R = 6 $.

Bước 2: Tính bán kính $ r_1 $ của đường tròn cửa lều

Mặt phẳng chứa cửa lều có phương trình $ (P): x = 2 $. Để tìm bán kính $ r_1 $, ta cần tính khoảng cách từ tâm $ C(5, 3, 2) $ đến mặt phẳng $ (P) $.

Khoảng cách từ điểm $ C(5, 3, 2) $ đến mặt phẳng $ x = 2 $ là:
$$
d_1 = |5 - 2| = 3
$$

Bán kính $ r_1 $ của đường tròn giao giữa mặt cầu và mặt phẳng $ (P) $ được tính bằng công thức:
$$
r_1 = \sqrt{R^2 - d_1^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
$$

Bước 3: Tính bán kính $ r_2 $ của đường tròn sàn lều

Mặt phẳng chứa sàn lều có phương trình $ (Q): z = 0 $. Tương tự, ta tính khoảng cách từ tâm $ C(5, 3, 2) $ đến mặt phẳng $ (Q) $.

Khoảng cách từ điểm $ C(5, 3, 2) $ đến mặt phẳng $ z = 0 $ là:
$$
d_2 = |2 - 0| = 2
$$

Bán kính $ r_2 $ của đường tròn giao giữa mặt cầu và mặt phẳng $ (Q) $ được tính bằng công thức:
$$
r_2 = \sqrt{R^2 - d_2^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
$$

Bước 4: Tính giá trị biểu thức $ r_1^2 + r_2^2 $

Ta có:
$$
r_1^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27
$$
$$
r_2^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32
$$

Do đó, giá trị của biểu thức $ r_1^2 + r_2^2 $ là:
$$
r_1^2 + r_2^2 = 27 + 32 = 59
$$

Vậy, giá trị của biểu thức $ r_1^2 + r_2^2 $ là 59.