giúp miknvoi

Câu 10: Để tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\), ta cần xác định góc giữa đường thẳng \(SA\) và hình chiếu của nó lên mặt phẳng \((ABCD)\). 1. Xác định hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng \((ABCD)\): Vì \(SA \bot (ABCD)\), nên hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(A\). 2. Xác định góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\): Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) chính là góc giữa \(SA\) và đường thẳng vuông góc với \(SA\) trong mặt phẳng \((ABCD)\). Đường thẳng này có thể là bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua \(A\). 3. Chọn đường thẳng trong mặt phẳng \((ABCD)\): Ta chọn đường thẳng \(AC\) trong mặt phẳng \((ABCD)\). Do đó, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat{SAC}\). Vậy đáp án đúng là \(A.~\widehat{SAC}\). Câu 11: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{4x + 1} \) tại \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{4x + 1} \): - Hàm số \( y = \sqrt{4x + 1} \) có thể viết dưới dạng \( y = (4x + 1)^{\frac{1}{2}} \). - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa \( f(x) = u^n \) với \( n \) là hằng số, ta có \( f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \). Ta có: \[ y = (4x + 1)^{\frac{1}{2}} \] Đạo hàm \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{1}{2} \cdot (4x + 1)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (4x + 1)' \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot (4x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{4x + 1}} \] \[ y' = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}} \] 2. Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm đã tìm được: \[ y'(2) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 2 + 1}} \] \[ y'(2) = \frac{2}{\sqrt{8 + 1}} \] \[ y'(2) = \frac{2}{\sqrt{9}} \] \[ y'(2) = \frac{2}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y'(2) = \frac{2}{3} \] Câu 12: Để xác định mệnh đề đúng về đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của đạo hàm. Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x_0 \) được định nghĩa là giới hạn: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x + x_0} \) - Mệnh đề này sai vì mẫu số là \( x + x_0 \) thay vì \( x - x_0 \). B. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + f(x_0)}{x - x_0} \) - Mệnh đề này sai vì tử số là \( f(x) + f(x_0) \) thay vì \( f(x) - f(x_0) \). C. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0} \) - Mệnh đề này sai vì cả tử số và mẫu số đều không đúng theo định nghĩa đạo hàm. D. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) - Mệnh đề này đúng vì nó khớp với định nghĩa đạo hàm. Vậy, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{D.~f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}. \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh $SH \bot AB$. Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên $SA = SB = AB$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, do đó $SH$ là đường cao của tam giác đều $SAB$. Trong tam giác đều, đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác, do đó $SH \bot AB$. b) Chứng minh $SH \bot (ABCD)$. Vì $SH \bot AB$ và $SH$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, mà $(SAB) \bot (ABCD)$ (do $(SAB)$ vuông góc với đáy), nên $SH \bot (ABCD)$. c) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. Để tính thể tích khối chóp $S.ABCD$, ta cần chiều cao $SH$ và diện tích đáy $ABCD$. - Diện tích đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, do đó $S_{ABCD} = a^2$. - Trong tam giác đều $SAB$, $SH$ là đường cao. Ta có $AB = a$, do đó $AH = \frac{a}{2}$. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SAH$, ta có: \[ SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] - Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SH = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}. \] Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đề bài, vì thể tích tính được là $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$, không phải $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$. d) Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$. Để tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$, ta cần tìm phương trình mặt phẳng $(SBD)$ và sau đó tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng này. - Gọi $D$ là điểm đối diện với $A$ trong hình vuông $ABCD$, do đó $D = (a, a, 0)$, $B = (a, 0, 0)$, $S = (0, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$. - Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBD)$ có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vector $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SD}$: \[ \overrightarrow{SB} = (a, 0, -\frac{a\sqrt{3}}{2}), \quad \overrightarrow{SD} = (a, a, -\frac{a\sqrt{3}}{2}). \] \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a & a & -\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix} = \left(0, -\frac{a^2\sqrt{3}}{2}, a^2\right). \] - Phương trình mặt phẳng $(SBD)$ là: \[ 0(x - 0) - \frac{a^2\sqrt{3}}{2}(y - 0) + a^2(z - \frac{a\sqrt{3}}{2}) = 0. \] \[ -\frac{a^2\sqrt{3}}{2}y + a^2z - \frac{a^3\sqrt{3}}{2} = 0. \] - Điểm $C$ có tọa độ $(0, a, 0)$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là: \[ d = \frac{\left| -\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a + a^2 \cdot 0 - \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \right|}{\sqrt{0^2 + \left(-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^4}} = \frac{\left| -\frac{a^3\sqrt{3}}{2} - \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \right|}{\sqrt{\frac{3a^4}{4} + a^4}}. \] \[ = \frac{a^3\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{7a^4}{4}}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}. \] Vậy khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$, đúng như đề bài yêu cầu. Câu 2: Phương trình chuyển động của vật là \( s = f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \). a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \): Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 9 \] Thay \( t = 2 \) vào công thức vận tốc: \[ v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3 \cdot 4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \text{ (m/s)} \] b) Thời điểm \( t = 1 \) và \( t = 4 \) vật đứng yên: Vật đứng yên khi vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ 3t^2 - 12t + 9 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 3t^2 - 12t + 9 = 0 \] \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \] \[ (t - 1)(t - 3) = 0 \] Do đó, \( t = 1 \) hoặc \( t = 3 \). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu kiểm tra tại \( t = 1 \) và \( t = 4 \): \[ v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 \] \[ v(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3 \cdot 16 - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 \neq 0 \] Vậy tại \( t = 1 \) vật đứng yên, còn tại \( t = 4 \) vật không đứng yên. c) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \): Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 12 \] Thay \( t = 4 \) vào công thức gia tốc: \[ a(4) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 \text{ (m/s}^2) \] d) Trong 5 giây đầu tiên, vật giảm tốc khi \( t \in [0; 2) \) và vật tăng tốc khi \( t \in (2; 5] \): Xét dấu của gia tốc \( a(t) = 6t - 12 \): - Khi \( t < 2 \), \( a(t) < 0 \) nên vật giảm tốc. - Khi \( t > 2 \), \( a(t) > 0 \) nên vật tăng tốc. Vậy trong 5 giây đầu tiên, vật giảm tốc khi \( t \in [0; 2) \) và vật tăng tốc khi \( t \in (2; 5] \). Đáp số: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( v = -3 \text{ (m/s)} \). b) Vật đứng yên tại thời điểm \( t = 1 \). c) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \) là \( a = 12 \text{ (m/s}^2) \). d) Trong 5 giây đầu tiên, vật giảm tốc khi \( t \in [0; 2) \) và vật tăng tốc khi \( t \in (2; 5] \). Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Đầu tiên, ta có: \[ \log_{ab}(a^2) = 3 \] Theo tính chất của logarit, ta có thể viết lại biểu thức trên thành: \[ \log_{ab}(a^2) = 2 \log_{ab}(a) \] Do đó: \[ 2 \log_{ab}(a) = 3 \] \[ \log_{ab}(a) = \frac{3}{2} \] Bây giờ, ta cần tính giá trị của \( \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 \). Ta có: \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2 \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{ab}(a) - \log_{ab}(b) \] Ta đã biết \( \log_{ab}(a) = \frac{3}{2} \). Bây giờ, ta cần tìm \( \log_{ab}(b) \). Ta có: \[ \log_{ab}(ab) = 1 \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_{ab}(ab) = \log_{ab}(a) + \log_{ab}(b) \] \[ 1 = \frac{3}{2} + \log_{ab}(b) \] \[ \log_{ab}(b) = 1 - \frac{3}{2} \] \[ \log_{ab}(b) = -\frac{1}{2} \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức: \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{ab}(a) - \log_{ab}(b) \] \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \] \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) = 2 \] Cuối cùng, ta có: \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2 \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right) \] \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2 \times 2 \] \[ \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 4 \] Vậy giá trị của \( \log_{ab}\left(\frac{a}{b}\right)^2 \) là 4. Câu 2: Bước 1: Xác định tổng số học sinh được phỏng vấn: Tổng số học sinh được phỏng vấn là 43 bạn. Bước 2: Xác định số học sinh thích chơi bóng đá và cầu lông: - Số học sinh thích chơi bóng đá là 25 bạn. - Số học sinh thích chơi cầu lông là 17 bạn. - Số học sinh không thích chơi cả bóng đá và cầu lông là 5 bạn. Số học sinh thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao này là: \[ 43 - 5 = 38 \text{ bạn} \] Bước 3: Áp dụng công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Trong đó: - \( |A \cup B| \) là số học sinh thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao. - \( |A| \) là số học sinh thích chơi bóng đá. - \( |B| \) là số học sinh thích chơi cầu lông. - \( |A \cap B| \) là số học sinh thích chơi cả bóng đá và cầu lông. Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 38 = 25 + 17 - |A \cap B| \] \[ 38 = 42 - |A \cap B| \] \[ |A \cap B| = 42 - 38 \] \[ |A \cap B| = 4 \] Bước 4: Tính xác suất để chọn được học sinh thích chơi bóng đá và cầu lông: Xác suất \( P \) để chọn được học sinh thích chơi bóng đá và cầu lông là: \[ P = \frac{\text{số học sinh thích chơi cả bóng đá và cầu lông}}{\text{tổng số học sinh được phỏng vấn}} \] \[ P = \frac{4}{43} \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0,0930 \approx 0,09 \] Vậy xác suất để chọn được học sinh thích chơi bóng đá và cầu lông là khoảng 0,09. Câu 3: Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố của tam giác đáy ABC: Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: - AG = BG = CG = $\frac{2}{3}$ chiều cao của tam giác ABC. - Chiều cao của tam giác ABC là $h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. - Do đó, AG = $\frac{2}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. 2. Xác định chiều cao SA của hình chóp: Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy (tam giác ABC), nên SA chính là chiều cao của hình chóp S.ABC. 3. Xác định SC và góc tạo bởi SC với đáy: Theo đề bài, SC tạo với đáy một góc $60^\circ$. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy (tam giác ABC), ta có: - SC là cạnh huyền của tam giác vuông SHC. - Góc $\angle SCH = 60^\circ$. Do đó, $\cos 60^\circ = \frac{CH}{SC} = \frac{1}{2}$, suy ra $CH = \frac{SC}{2}$. 4. Tính SC: Vì tam giác SHC vuông tại H, ta có: \[ SC = \frac{CH}{\cos 60^\circ} = 2 \times CH \] 5. Tính thể tích khối chóp S.ABC: Thể tích khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Diện tích đáy (tam giác ABC) là: \[ \text{Diện tích} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \] Chiều cao SA = SH (vì SA vuông góc với đáy), và SH = AG = $\sqrt{3}$. Do đó, thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \] Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là $\frac{9}{4}$. Câu 4: Để tính số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa mặt bên \( (SCD) \) và mặt đáy \( (ABCD) \) của khối chóp tứ giác đều \( S.ABCD \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm đáy và chiều cao của khối chóp: - Gọi \( O \) là tâm của hình vuông \( ABCD \). Do \( ABCD \) là hình vuông cạnh 230m, nên \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). - Độ dài đường chéo \( AC = BD = \sqrt{230^2 + 230^2} = 230\sqrt{2} \). - Tọa độ của \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \), do đó \( AO = \frac{230\sqrt{2}}{2} = 115\sqrt{2} \). 2. Tính chiều cao \( SO \) của khối chóp: - Tam giác \( SAC \) là tam giác cân tại \( S \) với \( SA = SC = 214 \) m. - Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SAO \): \[ SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{214^2 - (115\sqrt{2})^2} \] \[ = \sqrt{214^2 - 2 \times 115^2} = \sqrt{45796 - 2 \times 13225} = \sqrt{45796 - 26450} = \sqrt{19346} \] 3. Tính góc nhị diện giữa mặt phẳng \( (SCD) \) và mặt phẳng \( (ABCD) \): - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến của mặt phẳng \( (SCD) \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là đường thẳng \( CD \). - Đường thẳng vuông góc với \( CD \) trong mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( SO \). - Đường thẳng vuông góc với \( CD \) trong mặt phẳng \( (SCD) \) là đường cao từ \( S \) xuống \( CD \), gọi là \( SH \). - Do \( S.ABCD \) là chóp tứ giác đều, \( SH \) cũng chính là \( SO \). 4. Tính góc giữa \( SO \) và \( SH \): - Vì \( SO \) và \( SH \) đều là đường cao từ \( S \) xuống \( (ABCD) \) và \( (SCD) \), nên góc giữa \( SO \) và \( SH \) chính là góc nhị diện cần tìm. - Góc này là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng, do đó góc nhị diện là \( 90^\circ \). Kết luận: Số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa mặt bên \( (SCD) \) và mặt đáy \( (ABCD) \) của kim tự tháp là \( 90^\circ \).